Demuestre que si $U$ es un conjunto abierto no vacío en $\mathbb{R}$ entonces $\overline{U}$ = $\mathbb{R}$ .

Question

Dejemos que $\mathbb{R}$ sea un espacio topológico con topología $T = \{ U \subseteq \mathbb{R} : U^c \ \text{is finite} \} \bigcup \{\emptyset \}$ . Demuestre que si $U$ es un conjunto abierto no vacío en $\mathbb{R}$ entonces $\overline{U} = \mathbb{R}$ .

Así que supongo que $U$ es un conjunto no abierto en $\mathbb{R}$

$\Rightarrow$ $U$ es un subconjunto de $\Bbb R$ tal que U $^c$ es finito

¿Cuál es el siguiente paso?

Answer 1

Si $U \in T\setminus\{\emptyset\}$ entonces $$ \mathbb{R}\setminus U=\{u_1,\ldots,u_m\} $$ De ello se desprende que $$ U=\mathbb{R}\setminus\{u_1,\ldots,u_m\}. $$ Para demostrar que $\overline{U}=\mathbb{R}$ basta con demostrar que dado $x \in \mathbb{R}$ tenemos $U_x\cap U\ne \emptyset$ por cada $U_x \in T$ con $x \in U_x$ . Así que dejemos $U_x \in T$ con $x \in U_x$ . Entonces $U_x=\mathbb{R}\setminus\{x_1,\ldots,x_n\}$ . Ahora tenemos $$ U_x\cap U=(\mathbb{R}\setminus\{x_1,\ldots,x_m\})\cap(\mathbb{R}\setminus\{u_1,\ldots,u_m\})=\mathbb{R}\setminus(\{x_1,\ldots,x_n\}\cup\{u_1,\ldots,u_m\}). $$ Es evidente que $$ \mathbb{R}\setminus(\{x_1,\ldots,x_n\}\cup\{u_1,\ldots,u_m\})=\mathbb{R}\setminus\{x_1,\ldots,x_n,u_1,\ldots,u_m\} $$ es no vacía ya que $\{x_1,\ldots,x_n,u_1,\ldots,u_m\}$ es un subconjunto finito de $\mathbb{R}$ .

Answer 2

La unión de dos conjuntos finitos es finita. Si $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos no vacíos de $\mathbb{R}$ entonces puedes demostrar que el complemento de $U\cap V$ es finito? ¿Puedes ver ahora cómo demostrar que todo conjunto abierto no vacío es denso? Además, ¿puedes ver dónde se utiliza el supuesto de "no vacío"?

Espero que esto ayude.

Answer 3

Si $U$ es un conjunto abierto no vacío en $\Bbb R$ entonces $\Bbb R\smallsetminus U$ finito, digamos $\{u_1,\ldots,u_r\}$ . Para demostrar que $\overline U=\Bbb R$ es necesario demostrar que cada elemento de $\Bbb R$ está en el cierre de $\overline U$ lo que equivale a demostrar que para cada $x\in\Bbb R$ y todo conjunto abierto $N$ que contiene $x$ , $N\cap U$ es no vacía. Pero $N$ siendo abierto tiene complemento finito, llámalo $\{n_1,\ldots,n_q\}$ . Ahora, $$\Bbb R\smallsetminus(N\cap U)=\{n_1,\ldots,n_q\}\cup \{u_1,\ldots,u_r\}$$ por las leyes de De Morgan. El complemento, llámese $C$ de lo anterior es $N\cap U$ . ¿Es esto no vacío para cualquier elección de $x$ y $N$ ? ¿Cuál es su conclusión?

ADD Obsérvese que esto funciona en general: si se dota a un conjunto infinito de la topología cofinita, todo subconjunto abierto no vacío será denso.