Límite de punto de compacidad implica la compacidad secuencial

Question

Estoy tratando de ir a través de la prueba de: Supongamos $ X $ es metrizable espacio. Si $X$ es el límite de punto compacto, a continuación, $X$ es secuencialmente compacto.

Prueba:

Deje $(x_n)$ donde $n\in \mathbb{N_0}$ ser una secuencia de puntos en $X$. Necesitamos encontrar un convergentes larga.

Caso: $A=\{x_n: n\in \mathbb{N_0}\}$ es infinito. Por el límite de punto de compacidad hay un punto límite $x$$\{x_n, n\in \mathbb{N}\}$. Podemos encontrar una larga que converge a $x$.

No entiendo/ tiene la intuición cuando se dice "Por el límite de punto de compacidad hay un punto límite $x$$\{x_n, n\in \mathbb{N}\}$". Soy bien consciente de la definición de límite límite y punto de compacidad. Pero en este caso, lo que si elegimos un barrio de decir $x_1$ que sólo contendrá $x_2$. Ahora bien, si se intersecan que con $A$ ¿cómo podemos conseguir $x$? Alguna ayuda?

Answer 1

No hay ninguna razón para elegir un nbhd de $x_1$. Cuando decimos que $x$ es un punto límite de $A$, estamos diciendo que cada abierto nbhd de $x$ contiene un punto de $A$ diferente de la $x$, lo $x$ es el único punto cuya nbhds son de interés. Es muy posible que para cada una de las $n\in\Bbb N$ el punto de $x_n$ tiene un abrir nbhd que no contiene ningún otro punto de $A$ y no contiene el punto límite $x$.

Supongamos, por ejemplo, que el espacio es $\Bbb R$, e $A=\left\{\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}$; el único punto límite de $A$$0$. Si $n\ge 2$, $\left(\frac1{n+1},\frac1{n-1}\right)$ es un intervalo abierto alrededor de $\frac1n$ cuya intersección con $A$ es sólo $\left\{\frac1n\right\}$, e $\left(\frac12,2\right)$ es un intervalo abierto alrededor de $1$ cuya intersección con $A$ es sólo $\{1\}$, por lo que cada punto de $A$ tiene un abrir nbhd que no contiene ningún otro punto de $A$. Morover, ninguno de estos nbhds contiene el punto límite $0$. Lo que hace a $0$ a un punto límite de $A$ es que cada abierto nbhd de $0$ contiene puntos de a $A$ diferente de la $0$.

Ahora vuelve a la situación general. Si $A$ es infinito, límite de punto de compacidad dice que debe haber un punto límite $x$. Esto significa que por cada $\epsilon>0$, $B(x,\epsilon)\cap(A\setminus\{x\})\ne\varnothing$: cada una de las $\epsilon$ bola centrada en $x$ contiene un punto de $A$ otros de $x$. (Por supuesto, es posible que $x\notin A$, como en el ejemplo de arriba, pero tenemos que cubrir la posibilidad de que $x$ es de $A$). En particular, para cada una de las $k\in\Bbb Z^+$ hay algunas $x_{n_k}\in B\left(x,\frac1k\right)\cap(A\setminus\{x\})$. A continuación, $\langle x_{n_k}:k\in\Bbb Z^+\rangle$ es una secuencia en $A$ convergentes a $x$. El único problema es que puede que no sea un larga de la secuencia original $\langle x_k:k\in\Bbb N\rangle$, debido a que los índices de $n_k$ podría no ser estrictamente creciente. Para completar la prueba, usted debe demostrar que la secuencia de $\langle n_k:k\in\Bbb Z^+\rangle$ de los índices tiene una estrictamente creciente larga.

Answer 2

La definición de límite de punto de compacidad simplemente dice que todo conjunto infinito tiene un punto límite. No sabemos cuál es el punto límite de $\{ x_n : n \in \mathbb{N} \}$ es, pero sea lo que sea se puede construir una larga de $\langle x_n \rangle_n$ convergentes a ella con un par de simples hechos.

1. Por Hausdorffness (bueno, T$_1$-ness) de $X$ si $x$ es un punto límite de $A$, entonces cada barrio de $x$ contiene una infinidad de puntos de $A$.
2. Por primera countability de $X$ $x \in X$ tiene una contables (abierto)barrio de base $\{ U_i : i \in \mathbb{N} \}$, y por simplicidad podemos llevar esto a ser descendente ($U_{i+1} \subseteq U_i$).

Ahora trabajamos de la siguiente manera:

Si $x$ es un punto límite de $A$, elija una contables (descendente) (abierto)barrio de base $\{ U_i : i \in \mathbb{N} \}$$x$. De forma recursiva construir una secuencia $\langle n_i \rangle_i$ de los números naturales, de manera que

1. $x_{n_i} \in U_i$; y
2. $n_{i+1} > n_i$.

(Desde $U_{i+1}$ es una vecindad de a$x$, $U_{i+1} \cap A$ es infinito, y así debe haber un $n_{i+1} > n_i$$x_{n_{i+1}} \in U_{i+1}$.)

Entonces es (relativamente) fácil mostrar que $\langle x_{n_i} \rangle_i$ es una larga de $\langle x_n \rangle_n$ que converge a $x$.

Answer 3

Límite de punto de compacidad no implica la Compacidad Secuencial. Sin embargo, la Compacidad Secuencial no siempre implica Limitar Punto de compacidad. Para entenderlo, usted necesita ir a través de las definiciones de ambos tipos de compacidad un poco más detenidamente.

Mientras que el punto límite compacto no requiere de la sub-secuencia de cualquier secuencia infinita para ser convergente, la Compacidad Secuencial requiere, y por lo tanto la Compacidad Secuencial es más restrictiva.