Mostrar que $f(x)=x^2$ es continua en a $a=2$ $\delta-\epsilon$ definición de continuidad.

Question

Así queremos encontrar una $\delta>0$ tal que para todos los $2-\delta<x<2+\delta$ tendremos $4-\epsilon<x^{2}<4+\epsilon$ todos los $\epsilon>0$ . Si podemos encontrar una forma de expresar $\delta$ como una función $\delta (\epsilon)$, $\delta:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ $ entonces habremos resuelto el problema. Pero no puedo ver cómo se relacionan $\epsilon$ $\delta$en este caso.

Mi reacción inicial es escribir $(2-\delta)^2<x^2<(2+\delta)^2$, esto hace que las dos desigualdades aspecto relacionado, pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Answer 1

Creo que la manera de escribir las desigualdades oscurece el punto de vista. La canónica manera de ver las cosas, es que desee $\delta>0$ tal que $|x-2|<\delta$ implica $|x^2-4|<\varepsilon$.

Fix $\varepsilon>0$. Usted tiene $$ |x^2-4|=|x+2|\,|x-2|<\delta\,|x+2|<\delta(2+\delta+2)=\delta(4+\delta). $$ Por lo que necesita para elegir a $\delta>0$ tal que $\delta(4+\delta)<\varepsilon$. Como la función de $t\mapsto t(t+4)$ es el aumento de $t>0$, nos fijamos en $t(t+4)=\varepsilon$, es decir,$t^2+4t-\varepsilon=0$. El positivo $t$ satisfacer este es $$ \frac{-4+\sqrt{16+4\varepsilon}}2=-2+\sqrt{4+\varepsilon}. $$ Por lo que cualquier $\delta<-2+\sqrt{4+\varepsilon}$ va a hacer. Por ejemplo, usted puede tomar $-2+\sqrt{4+\varepsilon/2}$.

Answer 2

Otro enfoque sería obtener dos estimaciones de uno de $|x-2|$ y otro para $|x + 2|$.

Por ejemplo, queremos encontrar a $\delta$ que si $|x - 2 | < \delta \implies |x^2 - 4 | < \epsilon$.

En primer lugar, supongamos $|x - 2 | < 1$, y ahora con el triángulo de la desigualdad

$$ | x + 2 | = |x + 4 - 2| \leq |x -2| + 4 < 5 $$

$$ \therefore |x^2 - 4| = |x-2||x+2| < 5 \delta. $$

Para hacer el cálculo anterior menos que su $\epsilon$, debería ser obvio que nos msut elija $ \delta' = \frac{\epsilon}{5}$. Pero ya nos llevó $\delta = 1$ para obtener el límite de $|x + 2 |$. Por lo tanto, $\delta = \min\{1, \delta'\}$.