El significado y la Intuición detrás de producto $\sigma$ álgebras , Folland Defition

Question

Actualmente estoy estudiando Análisis Real utilizando Folland del libro con el mismo nombre, pero tengo problemas en la comprensión del producto $\sigma$-álgebras de definición de las cuales es la siguiente:

Deje $\{ X_{\alpha} \}_{\alpha \in A}$ ser una colección indizada de conjuntos no vacíos, $X = \prod_{\alpha \in A}X_{\alpha}$, e $\pi_{\alpha}: X \rightarrow X_{\alpha}$ de las coordenadas de los mapas. Si $\mathcal{M}_{\alpha}$ $\sigma$- álgebra en $X_{\alpha}$ por cada $\alpha$, $\textbf{product $\sigma$-algebra}$ $X$ $\sigma$- álgebra generada por : $$\{ \pi^{-1}_{\alpha}(E_{\alpha}):E_{\alpha} \in \mathcal{M}_{\alpha}, \alpha \in A \}.$$

Primero no sé cuál es la definición de las coordenadas de los mapas y, a continuación, ¿cuál es la intuición o ¿cómo puedo entender más práctica de producto $\sigma$-álgebras ?

Gracias!

Answer 1

Las coordenadas de los mapas también son llamados mapas de proyección. Enviar un elemento de un conjunto de productos en el $\alpha$th "coordinar" el espacio. Por ejemplo, si $X = A\times B$, $\pi_A:X\to A$ sería definida por $\pi(a,b) = a$ todos los $(a,b)\in A\times B$. Contables de los productos puede ser pensado de manera similar, ya que se puede escribir elementos como secuencias infinitas $(a_1, a_2, \ldots)$. Innumerables productos son un poco más difícil de manejar.

También vamos a utilizar este ejemplo para que se haga una idea del producto $\sigma$-álgebra. Para un número finito de producto $X = A\times B$, y donde ahora se $A, B = \mathbb{R}$, y cada una está equipada con Borel $\sigma$-álgebra. A continuación, el producto $\sigma$-álgebra en $X$ es generado por $$\{\pi_A^{-1}(E): E\in \mathscr{B}_A\}\cup\{\pi_B^{-1}(F):F\in\mathscr{B}_B\}.$$

Para cualquier $E\in\mathscr{B}_A$, tenemos $$\pi_A^{-1}(E) = E\times\mathbb{R}.$$ Similarly $$\pi_B^{-1}(F) = \mathbb{R}\times F.$$

Desde que el producto se $\sigma$-álgebra a es cerrado bajo intersecciones finitas, esto significa $E\times F \in\mathcal{M}_{A\times B}$. De modo que el producto $\sigma$-álgebra contiene todos los conjuntos de la forma $E\times F$ donde$E\in\mathcal{M}_A$$F\in\mathcal{M}_B$. (Estos $\sigma$-álgebras son los Borel $\sigma$-álgebras en este ejemplo). En particular, teniendo en $A$ $B$ a intervalos (abierto, semi-abierto, cerrado, lo que sea) podemos ver que $\mathcal{M}_{A\times B}$ contiene todos los rectángulos. Desde el Borel $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}^2$ puede ser generado por medio abrir rectángulos, esto muestra que el producto $\sigma$-álgebra contiene el Borel $\sigma$-álgebra. Esta es una de las cosas que esperamos de la Lebesgue $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}^2$, una vez que entramos en torno a la definición de la misma.

Esto no es una descripción completa del producto $\sigma$-álgebra. En general, hay muchos más juegos en el producto $\sigma$-álgebra que sólo los productos Cartesianos de conjuntos medibles. Pero espero que este ejemplo te da una idea de cómo el producto $\sigma$-álgebra obras - no es tan intimidante como Folland hace (podría decirse que todo lo que parecen.

Answer 2

El producto $\sigma$-álgebra es el más pequeño de $\sigma$-álgebra en $X:= \prod X_{\alpha}$ de manera tal que cada mapa de proyección $\pi_{\beta} : X \to X_{\beta}$ es medible. Esto está en analogía con el producto de la topología en $X$, que es el más pequeño de la topología que hace que el $\pi_{\beta}$ continuo.

En particular, si los conjuntos son medibles en cada una de las $X_{\alpha}$, a continuación, funciones continuas en $X$ sería medible, que es, obviamente, una propiedad deseable.