Donde puedo encontrar una completa prueba el hecho de que la integral de cierre de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}(i)$ $\mathbb{Z}[i]$ (los enteros de Gauss son la integral de cierre de $\mathbb{Z}$ en el Gaussiano racionales)? Para tal aparentemente estándar de hecho, me parece que no puede encontrar una completa prueba de este lugar. Sí, soy consciente de que esta pregunta se ha hecho en las matemáticas.stackexchange antes, pero no había ninguna referencia a una completa prueba, ni era una completa prueba alguna vez suministrado. Se agradece cualquier ayuda, gracias.
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TheBlueSky
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Si $z\in\mathbb Q[i]$ integral $\mathbb Z$, entonces la integral sobre la $\mathbb Z[i]$. Pero $\mathbb Z[i]$ es una unidad flash usb, por lo que es integralmente cerrado. De ello se desprende $z\in\mathbb Z[i]$. (Memoria o demostrar que $\mathbb Q[i]$ es el campo de fracciones de $\mathbb Z[i]$.)
Por el contrario, para $z\in\mathbb Z[i]$, $z=m+in$, $m,n\in\mathbb Z$, usted puede ver fácilmente que $z^2-2mz+m^2+n^2=0$, lo $z$ integral $\mathbb Z$.
Aquí está una primaria de la prueba a partir de cero. Si $\alpha = a + bi$ es un entero algebraico, a continuación, $\overline{\alpha}$ va a ser así, ya que cualquier polinomio de más de $\mathbb{Q}$ tener $\alpha$ como una raíz también ha $\overline{\alpha}$ como una raíz.
Por lo tanto su traza $\alpha + \overline{\alpha} = 2a$ y su norma $\alpha\overline{\alpha} = a^2 + b^2$ será algebraica de los números enteros también. Por el contrario, si este se mantiene, entonces $\alpha$ es de hecho una expresión algebraica entero, porque satisface el polinomio $$ x^2 - Tr(\alpha)x + N(\alpha) \in \mathbb{Z}[x] $$
Por lo tanto es necesario y suficiente que $2a$ ser un número entero y que $a^2 + b^2$ ser un número entero. Claramente, es suficiente para $a, b \in \mathbb{Z}$, es decir, claramente $\mathbb{Z}[i]$ está contenida en la integral de cierre, y sólo hay que mostrar la necesidad. Así que tenemos que mostrar: si $a, b$ son números racionales tales que $2a$ $a^2 + b^2$ son enteros, entonces $a$ $b$ de las mismas son enteros.
Vamos a escribir $a = m/2$ $b = c/d$ donde $m, c$, e $d$ son enteros. Podemos suponer que $c$ $d$ no tienen factores primos comunes y $d$ es positivo. Deje $n = a^2 + b^2$, lo que también sabemos es un número entero. Así $$ m^2/4 + c^2/d^2 = n $$ y así $$ m^2d^2 + 4c^2 = 4nd^2. $$ El trabajo de mod $d^2$. Desde $c$ es el primer a $d$, sabemos $c^2$ es el primer a $d^2$ y, por tanto, $4$ es equivalente a $0$ mod $d^2$, lo que muestra que $d$ es $1$ o $2$.
Si $d$$1$, entonces el trabajo de mod $4$ ver $m$ es aún, por lo que ahora tanto $a$ $b$ son enteros como se desee. Así que supongamos $d$ es de dos. Tenemos
$$ m^2 + c^2 = 4n. $$ El trabajo de mod $4$ nuevo. Dado que la única plaza de mod $4$$0$$1$, podemos ver tanto $m^2$ $c^2$ 0 mod 4. Pero $c$ no puede ser, incluso, ya que el primer a $d$, por lo que podemos eliminar este caso.
