Supongamos que tengo una función f:R→[0,1] . ¿Existe necesariamente un mapa biyectivo g:R→R tal que g(x)≤g(y) implica f(x)f(y) ? Si no, ¿ayuda si restrinjo el dominio a R+ ¿o un intervalo cerrado?
Edita: Supongo que si tomo una función muy fea como la función indicadora que es 1 sólo si x es racional, esto puede no cumplirse. (En ese caso, dejemos que x cualquier número racional. Cualquiera que sea g(x) el conjunto [g(x),∞) tiene medida de Lebesgue positiva, pero su preimagen wrt g es contable). Pero, ¿y si sólo necesito que las propiedades se cumplan en casi todas partes? En concreto, si la condición de orden se cumple excepto en un conjunto de medida cero, si Im(g)=R hasta un conjunto de medida cero y g−1(z) tiene medida cero para todo z∈[0,1] ?
Idea de prueba: Esta es mi intuición original de lo que podría funcionar, pero no estoy seguro de que todos los argumentos sean sólidos. Dejemos que h corresponden a alguna medida de probabilidad sobre R que tenga soporte completo (con lo que quiero decir, si h(A)=0 entonces el conjunto A tiene medida de Lebesgue cero - ¿debería llamarlo más bien absolutamente continuo?) y admite una función de distribución H . Entonces g(x)=H−1(1−h(f−1((f(x),∞)))−h(f−1({f(x)})∩(x,∞)).
Además, dejemos que A=∞⋃n=1{(mn,m+1n)∣0≤m<n and h(f−1(mn,m+1n))=0}. Desde f−1(A) puede escribirse como una unión contable de imágenes inversas con medida cero cada una, se deduce que h(f−1(A))=0 .
En ese caso, f(x)<f(y) con x,y∉f−1(A) implica (f(x),∞)⊇(f(y),∞)∪({f(y)}∩(x,∞))∪(f(x),f(y)) y la imagen inversa de la última parte de esta unión disjunta tiene medida distinta de cero por definición de A . Esto implica g(x)<g(y) estableciendo la condición de orden deseada.
En cuanto a la biyectividad, dejemos que z∈R . Quiero mostrar h(g−1(z))=0 . Según lo anterior, todos los puntos de g−1(z)∖A comparten un valor de función común f(z) . Sea (a,b) sea el mínimo y el máximo de g−1(z) respectivamente. Según la definición de g(⋅) debe cumplirse que h(g−1(z))≤h(f−1(f(z))∩(a,b))=0 . Esto establece mi noción de "inyectiva en casi todas partes".
Por último, para la subjetividad, sea k=H−1(y) para cualquier y∈R . Establecer z=inf . O bien h(f^{-1}((z,\infty)))=k y h(f^{-1}(\{z\}))=0 o h(f^{-1}((z,\infty)))>k . En cualquier caso, existe x\in f^{-1}(\{z\}) tal que g(x)=H^{-1}(k) .
¿Le parece plausible? ¿No debería haber un mucho más sencillo para demostrar este resultado intuitivo?
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Estoy teniendo problemas para encontrar las etiquetas más apropiadas para esta pregunta, así que si alguien tiene sugerencias o ediciones al respecto, seré todo oídos :)
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No estoy seguro de entenderlo. ¿Qué ocurre si f y g ¿son inversos? ¿Seguro que entonces es cierto? Un dato que te puede resultar útil es que toda biyección es monótona, y toda función monótona es biyectiva entre su dominio y su rango.
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La cuestión es que no quiero hacer suposiciones sobre f. En particular, no quiero suponer que sea invertible o monótona.