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¿Existencia de una biyección que reordena los elementos?

Supongamos que tengo una función f:R[0,1] . ¿Existe necesariamente un mapa biyectivo g:RR tal que g(x)g(y) implica f(x)f(y) ? Si no, ¿ayuda si restrinjo el dominio a R+ ¿o un intervalo cerrado?

Edita: Supongo que si tomo una función muy fea como la función indicadora que es 1 sólo si x es racional, esto puede no cumplirse. (En ese caso, dejemos que x cualquier número racional. Cualquiera que sea g(x) el conjunto [g(x),) tiene medida de Lebesgue positiva, pero su preimagen wrt g es contable). Pero, ¿y si sólo necesito que las propiedades se cumplan en casi todas partes? En concreto, si la condición de orden se cumple excepto en un conjunto de medida cero, si Im(g)=R hasta un conjunto de medida cero y g1(z) tiene medida cero para todo z[0,1] ?

Idea de prueba: Esta es mi intuición original de lo que podría funcionar, pero no estoy seguro de que todos los argumentos sean sólidos. Dejemos que h corresponden a alguna medida de probabilidad sobre R que tenga soporte completo (con lo que quiero decir, si h(A)=0 entonces el conjunto A tiene medida de Lebesgue cero - ¿debería llamarlo más bien absolutamente continuo?) y admite una función de distribución H . Entonces g(x)=H1(1h(f1((f(x),)))h(f1({f(x)})(x,)).

Además, dejemos que A=n=1{(mn,m+1n)0m<n and h(f1(mn,m+1n))=0}. Desde f1(A) puede escribirse como una unión contable de imágenes inversas con medida cero cada una, se deduce que h(f1(A))=0 .

En ese caso, f(x)<f(y) con x,yf1(A) implica (f(x),)(f(y),)({f(y)}(x,))(f(x),f(y)) y la imagen inversa de la última parte de esta unión disjunta tiene medida distinta de cero por definición de A . Esto implica g(x)<g(y) estableciendo la condición de orden deseada.

En cuanto a la biyectividad, dejemos que zR . Quiero mostrar h(g1(z))=0 . Según lo anterior, todos los puntos de g1(z)A comparten un valor de función común f(z) . Sea (a,b) sea el mínimo y el máximo de g1(z) respectivamente. Según la definición de g() debe cumplirse que h(g1(z))h(f1(f(z))(a,b))=0 . Esto establece mi noción de "inyectiva en casi todas partes".

Por último, para la subjetividad, sea k=H1(y) para cualquier yR . Establecer z=inf . O bien h(f^{-1}((z,\infty)))=k y h(f^{-1}(\{z\}))=0 o h(f^{-1}((z,\infty)))>k . En cualquier caso, existe x\in f^{-1}(\{z\}) tal que g(x)=H^{-1}(k) .

¿Le parece plausible? ¿No debería haber un mucho más sencillo para demostrar este resultado intuitivo?

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Estoy teniendo problemas para encontrar las etiquetas más apropiadas para esta pregunta, así que si alguien tiene sugerencias o ediciones al respecto, seré todo oídos :)

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No estoy seguro de entenderlo. ¿Qué ocurre si f y g ¿son inversos? ¿Seguro que entonces es cierto? Un dato que te puede resultar útil es que toda biyección es monótona, y toda función monótona es biyectiva entre su dominio y su rango.

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La cuestión es que no quiero hacer suposiciones sobre f. En particular, no quiero suponer que sea invertible o monótona.

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ahy1 Puntos 138

Si f = 0 siempre tienes fg(x) \leq fg(y) por lo que tal g no siempre existe.

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Cierto. Perdón por el descuido. Redactaré de nuevo la pregunta para evitar este problema. Lo que realmente quiero es simplemente una reorganización de los elementos para que los valores de la función se vuelvan crecientes. Supongo que la condición correspondiente debería ser: "Existe una biyección g tal que g(x)\leq g(y) implica f(x)\leq f(y) ." ¿Puede aconsejarme si debo aceptar su respuesta aquí y abrir una nueva pregunta con la condición correcta, o editar la anterior?

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Editar está bien, supongo. Entonces ignora mi respuesta :)

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