Donde es la falla en la prueba de que la unión de dos funciones continuas es continua?

Question

Problema. Deje $f:A\to\mathbb{R}$ ser una función continua en a $A$ $g:B\to\mathbb{R}$ ser una función continua en a $B$ tal que $A\cap B=\emptyset$. Deje $h:A\cup B\to\mathbb{R}$ ser definido por, $$h(x)=\begin{cases}f(x)& x\in A\\ g(x)& x\in B\end{cases}$$Is $h$ continuous on $A\cup B$?

Prueba. Deje $(x_n)_{n\ge1}$ ser cualquier secuencia de $A\cup B$ convergentes a $c\in A\cup B$. Ahora vamos a formar dos subsecuencias de $(x_n)_{n\ge1}$, es decir, $(y_n)_{n\ge1}$ $(z_n)_{n\ge1}$ tal que $y_n\in A$ $z_n\in B$ todos los $n\in \mathbb{N}$.

Entonces claramente $(h(y_n))_{n\ge1}\to h(c)$ desde $h(y_n)=f(y_n)$ todos los $n\in\mathbb{N}$ $(h(z_n))_{n\ge1}\to h(c)$ desde $h(z_n)=g(y_n)$ todos los $n\in\mathbb{N}$. En consecuencia, $(h(x_n))_{n\ge1}\to h(c)$ y hemos terminado.

Pero el problema es que cuando le dije a nuestro profesor acerca de esta prueba me dijo que debe haber algunas otras condiciones. Pero el argumento parece funcionar bien. Donde es la falla (si alguna) en mi argumento?

Answer 1

Como a menudo es el problema en pruebas matemáticas, hay un problema, inmediatamente después de escribir "claramente"; sólo se sabe que $(h(y_n))_{n\geq0} = (f(y_n))_{n\geq0}$, y que no necesariamente saben lo $(f(y_n))_{n\geq0}$ converge a (en todo caso!). Diciendo $h(y_n) \to h(c)$, se admite implícitamente que $f(y_n) \to f(c)$, pero lo que si $c \in B$ (o ni $A$ ni $B$)?

Answer 2

Tome $A = [-1, 0)$ $B = [0, 1]$ y tome $f(x) = -1$$g(x) = 1$, entonces su función de $h$ no es continua en a $0$. Tomando $x_n = -1/n$, $x_n \to 0$, pero $h(x_n) \to -1 \neq h(0)$.

Su conjetura podría ser reparado en varias formas. E. g., es cierto si $A$ $B$ están obligados a tener distintos cierres. Sin embargo, su línea de prueba tendría que ser que debido a $A$ $B$ tienen distintos cierres, si $x_n$ es la secuencia en $A \cup B$ que converge a un punto de $x \in A$ (resp. $B$), a continuación, para todos lo suficientemente grande $n$, $x_n \in A$ (resp. $x_n \in B$). I. e., uno de sus subsecuencias $y_n$ $z_n$ sería finito.

La condición de que $A$ $B$ tienen distintos cierres, es decir, que $\overline{A}\cap\overline{B} = \emptyset$, puede ser relajado a $A \cap \overline{B} = \overline{A} \cap B = \emptyset$. Esta más débil condición es necesario y suficiente: si cualquiera de las $A \cap \overline{B}$ o $\overline{A} \cap B$ es no vacío, entonces con $f$ $g$ constante de funciones con valores diferentes, se obtiene un contraejemplo.

Answer 3

Aquí es un contra-ejemplo. Tomar $$f(x)=0, g(x)=1, A=[0,1/2), B=[1/2,1].$$ Then $h$ is clearly not continuous at $1/2$.

Answer 4

Aquí un exótico contador de ejemplo que creo que ilustra el problema muy bien

Deje $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$$f(x) = 0$, e $g: \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$$g(x) = 1$. A continuación, $h = f\cup g$ está dado por $$h(x) = \begin{cases} 1 & x \not\in \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{Q}\end{cases}$$ y $h$ es discontinua en todas partes!

Para ver por qué, consideremos la secuencia de $(x_n)_{n\ge 1}$$x_{2n-1} = \frac{1}{n}$$x_{2n} = \frac{\sqrt{2}}{n}$. Esta secuencia converge a $0$. En cualquier incluso indexado plazo, $h(x_n) = g(x_n) = 1$, pero en el extraño indexado términos, $h(x_n) = f(x_n) = 0$. El problema se produce porque hay infinitamente muchos puntos de la secuencia en cada una de las $A$$B$. La secuencia no convergen a cualquier número (en particular, no convergen a $h(0)$).

Hay varias maneras de restringir cualquiera de los dominios de las funciones o de las funciones de los mismos, a fin de que el resultado de convertirse en realidad. Por ejemplo, si necesitamos que $\lim_{y \to x} f(y) = \lim_{y \to x} g(y)$ por cada $x \in \overline{A} \cap \overline{B}$, $h$ es continua (y el uso de Rob Arthan de la observación en el último párrafo de su respuesta, nos puede debilitar el requisito de los límites de $f$ $g$ estaba de acuerdo en que para cualquier $x \in (\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$).

Answer 5

Supongamos que hay dos constantes funciones: $f: (-\infty,0] \to \{0\}$$g: (0, \infty) \to \{1\}$. Se puede ver donde tu razonamiento falla?