Puede Isomorfismo entre las categorías se definen sólo si ambas categorías son pequeños?

Question

En la página de la wikipedia, "Isomorfismo de categorías ",

Un functor F : C → D, se obtiene un isomorfismo de las categorías si y sólo si es bijective en los objetos y morfismos conjuntos.

He oído que bijection o "morfismos conjuntos" puede ser definido sólo si la categoría es muy pequeña. La categoría de "isomorfismo" puede ser sólo si ambas categorías son pequeños?

Answer 1

No. Pero la respuesta en detalle depende de las bases que están utilizando. Por ejemplo, en $\mathsf{ZFC}$ podemos interpretar las clases de la utilización de fórmulas (hasta equivalencia). Entonces, una categoría $C$ tiene una fórmula $\mathrm{Ob}(C)$ con una variable tal que "$x$ es un objeto de $C$" significa que $\mathrm{Ob}(C)(x)$ mantiene. También, tenemos fórmulas $\mathrm{Mor}(C)$, $\mathrm{dom}(C)$, $\mathrm{cod}(C)$, $\mathrm{Comp}(C)$, $\mathrm{Id}(C)$ tal que la categoría de axiomas están satisfechos. Ahora, un functor $F : C \to D$ se compone de dos fórmulas de $F_O$ $F_M$ tal que

• $\forall x ( \mathrm{Ob}(C)(x) \Rightarrow \exists ! y (\mathrm{Ob}(D)(y) \wedge F_O(x,y))$

es decir, cada objeto de $C$ está asignado a algún objeto especificado de $D$; por lo general uno escribe $F(x)=y$ en lugar de $F_O(x,y)$. De la misma manera por morfismos:

• $\forall f (\mathrm{Mor}(C)(f) \Rightarrow \exists ! g ( \mathrm{Mor}(D)(g) \wedge F_M(f,g))$

• $\forall f,g,x,x',y,y' (F_M(f,g) \wedge \mathrm{dom}(C)(f,x) \wedge \mathrm{cod}(C)(f,x') \wedge F_O(x,y) \wedge F_O(x',y') \Rightarrow \mathrm{dom}(D)(g,y) \wedge \mathrm{cod}(D)(g,y'))$

es decir, si $f$ es una de morfismos en $C$$x$$x'$, $F(f)$ es una de morfismos en $D$$F(x)$$F(x')$,

• compabilities con respecto a las identidades y la composición (que no voy a escribir aquí).

La composición de dos functors $F : C \to D$, $G : D \to E$ es el functor $G \circ F : C \to E$ definido por $(G \circ F)_O(x,z) :\Leftrightarrow \exists y (F_O(x,y) \wedge G_O(y,z))$, igualmente para $(G \circ F)_M$.

Ahora, $F$ es un isomorfismo iff $F_O$ $F_M$ son bijective, es decir,

• $\forall y ( \mathrm{Ob}(D)(y) \Rightarrow \exists ! x (\mathrm{Ob}(C)(x) \wedge F_O(x,y))$
• $\forall g (\mathrm{Mor}(D)(g) \Rightarrow \exists ! f ( \mathrm{Mor}(C)(f) \wedge F_M(f,g))$

En este caso, la inversa de la functor $F^{-1}$ está definido por $F^{-1}_O(y,x) :\Leftrightarrow F_O(x,y)$$F^{-1}_M(g,f) :\Leftrightarrow F_M(f,g)$.

Answer 2

Bijections también puede ser definida sobre la forma correcta de clases.
Así que no importa si la categoría es (localmente) pequeño.