Si $a_i\geq 0,$ $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$converge, probar $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$diverge.

Question

Si $a_i\geq0,a_n\neq0,$$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$converge, probar $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ diverge.

He sabido que si $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$converge, entonces $\sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}$converge, pero ¿cómo puedo demostrar $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ diverge?

Sinceramente gracias por tu ayuda.

Answer 1

Supongamos $a_{n_0}\neq 0$, entonces para todos los $n\geq n_0$, $$\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\geq a_{n_0}\times\frac{1}{n}$$ por lo tanto diverge desde que la serie armónica diverge.