Urna con los no-uniforme de probabilidades

Question

Una urna contiene N-1 rojo y 1 verde de la pelota. Cada bola tiene asociado un peso. Si cada bola se dibuja (sin reemplazo) con una probabilidad proporcional a la cantidad de su peso contribuye a la urna, lo que se espera que el número de intentos necesarios para conseguir la bola verde?

Ejemplo: 2 bolas rojas de peso de 0.3 y 0.4, y la pelota verde de peso de 0.3.

En el primer intento, Pr(red1)=0.3, Pr(red2)=0.4, Pr(green)=0.3.

Decir, la bola roja con el peso de 0,3 es elegido en el primer intento.
A continuación, en el siguiente intento, Pr(red2)=0.4/(0.4+0.3) y Pr(green)=0.3/(0.4+0.3). Resulta relativamente difícil seguir la pista de las probabilidades si hay más bolas rojas.

Answer 1

El mismo modelo es utilizado por los jugadores de poker para estimar la probabilidad de terminar en cada lugar en un torneo dado el tamaño de los stacks. Se llama el Modelo de fichas Independientes o ICM. Puedes descargar mi programa ICM Explorer que se puede calcular el acabado de las probabilidades de a $10$ bolas/jugadores.

Aunque no parece ser una simple expresión para la probabilidad de terminar en el $k$th lugar, en realidad es muy fácil responder a tu pregunta. El número esperado de bolas rojas dibujar antes de que la bola verde es la suma de las probabilidades de que dibujar cada bola roja antes de que la bola verde. Esa es la misma como un "duran más" apuesta en un torneo de poker. De acuerdo a este modelo, puede ignorar todos los otros jugadores: considerar la primera vez que dibujar la bola verde o $i$th bola roja. La probabilidad condicional de que sacar la bola roja de peso $r_i$ antes de que la bola verde de peso $g$$r_i/(r_i+g)$, por lo que el número esperado de bolas rojas dibujar antes de que la bola verde es

$$\sum_i \frac{r_i}{r_i+g}$$

y se espera que el número de intentos necesarios para encontrar la bola verde es $1$ más que esto.