Un miembro de la comunidad le preguntó: "no hay una secuencia de función continua en $[0,1]$ que converge pointwise a la función $f$ $[0,1]$ definido por $f(x)=0$ si $x$ es racional y $f(x)=1$ si $x$ es irracional."
Sin embargo, la única respuesta que se proporciona invoca Baire teorema, que parece innecesario de maquinaria. Me pregunto acerca de una solución que sólo se utiliza la definición de continuidad y de punto de sabio convergencia. Me contestó el OP con el intento siguiente:
Intento 1: " Supongamos que $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es un punto de sabio convergente secuencia que converge a $f$. Deje $x \in [0,1]$ y WLOG, supongamos que $x$ es irracional.
Deje $\epsilon>0$. WLOG, supongamos que $\epsilon<1$.
1) Entonces existe $N_{1} \in \mathbb{N}$ tal que $b \in \mathbb{N}$ $b>N_{1}$ implica que $|f_{b}(x)-f(x)|=|f_{b}(x)-1|<\frac{\epsilon}{2}$.
2) Desde $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de funciones continuas, existe alguna $\delta>0$ tal que $|x-y|<\delta$ implica que el $|f_{b}(y)-f_{b}(x)|<\epsilon$ por cada $y \in [0,1]$. Deje $y \in [0,1]$ tal que $|x-y|<\delta$. A continuación, elija $p$ tal que $p \in \mathbb{Q}$ donde $x<p<y$.
4) Desde $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es pointwise convergente, existe $N_{2} \in \mathbb{N}$ tal que $a \in \mathbb{N}$ $a>N_{2}$ implica que $|f_{a}(p)-f(p)|=|f_{a}(p)|<\frac{\epsilon}{2}$.
5) Deje $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Supongamos que $n>N$. Por hipótesis, $|f_{n}(p)|<\frac{\epsilon}{2}$$|f_{n}(x)-1|<\frac{\epsilon}{2}$. Sin embargo, por (3), sabemos que $|f_{n}(x)-f_{n}(p)|<\epsilon$. Pero esto es claramente una contradicción."
Sin embargo, esto no funciona, ya que se asume que el mismo $\delta$ va a caracterizar la continuidad de cualquier $f_{n}$ donde $n>N$.
**como un comentario, hay alguna literatura sobre la idea de una sola $\delta$ trabajando para describir la continuidad en una secuencia de punto-sabio convergente de funciones $f_{n}$ para suficientemente grande $n$?
