Demostrando la inexistencia de secuencia de funciones continuas convergente pointwise a la función de Dirichlet (definición)

Question

Un miembro de la comunidad le preguntó: "no hay una secuencia de función continua en $[0,1]$ que converge pointwise a la función $f$ $[0,1]$ definido por $f(x)=0$ si $x$ es racional y $f(x)=1$ si $x$ es irracional."

Sin embargo, la única respuesta que se proporciona invoca Baire teorema, que parece innecesario de maquinaria. Me pregunto acerca de una solución que sólo se utiliza la definición de continuidad y de punto de sabio convergencia. Me contestó el OP con el intento siguiente:

Intento 1: " Supongamos que $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es un punto de sabio convergente secuencia que converge a $f$. Deje $x \in [0,1]$ y WLOG, supongamos que $x$ es irracional.

Deje $\epsilon>0$. WLOG, supongamos que $\epsilon<1$.

1) Entonces existe $N_{1} \in \mathbb{N}$ tal que $b \in \mathbb{N}$ $b>N_{1}$ implica que $|f_{b}(x)-f(x)|=|f_{b}(x)-1|<\frac{\epsilon}{2}$.

2) Desde $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de funciones continuas, existe alguna $\delta>0$ tal que $|x-y|<\delta$ implica que el $|f_{b}(y)-f_{b}(x)|<\epsilon$ por cada $y \in [0,1]$. Deje $y \in [0,1]$ tal que $|x-y|<\delta$. A continuación, elija $p$ tal que $p \in \mathbb{Q}$ donde $x<p<y$.

4) Desde $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es pointwise convergente, existe $N_{2} \in \mathbb{N}$ tal que $a \in \mathbb{N}$ $a>N_{2}$ implica que $|f_{a}(p)-f(p)|=|f_{a}(p)|<\frac{\epsilon}{2}$.

5) Deje $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Supongamos que $n>N$. Por hipótesis, $|f_{n}(p)|<\frac{\epsilon}{2}$$|f_{n}(x)-1|<\frac{\epsilon}{2}$. Sin embargo, por (3), sabemos que $|f_{n}(x)-f_{n}(p)|<\epsilon$. Pero esto es claramente una contradicción."

Sin embargo, esto no funciona, ya que se asume que el mismo $\delta$ va a caracterizar la continuidad de cualquier $f_{n}$ donde $n>N$.

**como un comentario, hay alguna literatura sobre la idea de una sola $\delta$ trabajando para describir la continuidad en una secuencia de punto-sabio convergente de funciones $f_{n}$ para suficientemente grande $n$?

Answer 1

Creo que tengo una respuesta, he recibido algún tipo de ayuda de un amigo mío. Leve pregunta: ¿que dependen implictly en cualquier no-declaró teoremas (quiero decir, los llamados "grandes teoremas.")

Supongamos que $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es un punto de sabio convergente secuencia que converge a $f$. Deje $a,b \in [0,1]$ tal que $0<a<b<1$. Vamos a mostrar que para cada no-degenerada segmento de $A \in [0,1]$, existe alguna $B \subseteq A$ y arbitrariamente grande, $N \in \mathbb{N}$ tal que $f_{N}(B) = [a,b]$.

Deje $A$ ser un no-degenerada segmento de $[0,1]$. Deje $y \in (\mathbb{R}-\mathbb{Q})\cap A$ $x \in \mathbb{Q} \cap A$ tal que $x < y$. Desde $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ converge pointwise a $f$, tenemos que existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $f_{N}(x) \geq b$$f_{N}(y) \leq a$. Pero desde $f_{N}$ es continua,por el Teorema del Valor Intermedio, existe alguna $B \subseteq [x,y] \subseteq A \subseteq [0,1]$ tal que $f_{N}(B)=[a,b]$.

A continuación, considere la posibilidad de la incrustados secuencia de $\{A_{n}\}$ donde $A_{n+1} \subseteq A_{n}$. Claramente para cada una de las $A_{n}$ existen respectivas $K_{n} \in \mathbb{N}$ tal que $f_{K_{n}}(B_{n})=[a,b]$$B_{n} \subseteq A_{n}$. Por el anidado de intervalo teorema, la intersección de a $A_{n}$ no está vacía. A continuación, vamos a $x \in \bigcap_{n}A_{n}$. Pero, a continuación, $f(x)$ es el límite de $f_{n}(x) \in [a,b]$, lo cual es una contradicción ya que el $f(x)=0$ o $f(x)=1$$0<a<b<1$.

**edit: creo que esta prueba es incorrecta, ya que no hace referencia a los racionales (yo no lo uso en absoluto, como otro amigo me señaló.)