la base para un finito dimensional espacio vectorial no es infinito dimensional espacio vectorial?

Question

Deje $V$ ser un infinito dimensional espacio vectorial sobre un campo $K$, e $\{v_i\}_{i\in I}$ ser una base de $V$. Para cada una de las $i\in I$, vamos a $f_i: V\to K$ ser definido por $f_i(v_j)=\delta_{ij}$. Demostrar que $\{f_i\}_{i\in I}$ es linealmente independientes, pero no abarca el espacio dual $V^*$.

Puedo demostrar que $\{f_i\}_{i\in I}$ es linealmente independiente. Pero no puedo encontrar un contraejemplo en $V^*$ que no está atravesado por $\{f_i\}_{i\in I}$. ¿Alguien tiene alguna idea acerca de cómo crear este contraejemplo? Esta es la diferencia entre lo finito y lo infinito dimensional espacio vectorial, derecho?

Muchas gracias!

Answer 1

Deje $V$ el verdadero espacio vectorial generado por un conjunto infinito $A$. Por definición, $$V:=\{f:A\rightarrow\mathbb{R}\,\mbox{ s.t. } f(a)\neq 0\mbox{ for finitely many }a\in A\}$$ Una base de $V$ $\{e_a\}_{a\in A}$ donde $e_{a_i}(a_j)=\delta_{i,j}$. Vamos a denotar por $e_a'$ los elementos correspondientes de a $V^*$, es decir,$e_{a_i}'(e_{a_j})=\delta_{i,j}$. Ahora considere el $\psi\in V^*$, definido por $$\psi(f):=\sum_{a\in A}f(a)$$ Observar que $\psi$ está bien definido causar la suma implica sólo un número finito de términos. Supongamos ahora que $\psi$ puede ser escrito como (finito) combinación lineal de $e_a'$. Por lo tanto $$\psi=\sum_{a\in B}\lambda_ae_a'$$ where $B$ is a finite subset of $$, and $\lambda_a$ are scalars. Taking $\bar{un}\no\B$ (it exists cause $$ is infinite while $B$ is finite), and applying the last identity to $e_\bar{un}$, we get $1=0$, contradiction. In general, $V^*\equiv \mathbb{R}^$ (the set of all real-valued functions on $$), while the space spanned by $\{e_a'\}_{a\in A}$ is isomorphic to $V$ (the set of real-valued functions on $Un$ which are $0$ for all but finitely many $un\in A$).