Suma de la serie en la forma: $\sum_{n=\infty}^{\infty}f(n)$ a través de Métodos Complejos?

Question

$(1.)$

$$\sum_{n=\infty}^{\infty}f(n)$$

$(2.)$

$$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)=\lim_{n\to\infty}\sum_{n=1}^{n}f(n)$$

¿Cómo a través de las herramientas de Análisis Complejo el enfoque de la suma de la serie en el definido en $(1.)$ a través de las herramientas de Variables Complejas ? Si es posible, proporcionar ejemplos de aplicación.

$$EDIT$$

Agregando a nuestra pregunta original, ¿cómo manejaría el límite superior y el límite inferior de la suma definida en $(1.)$$n \, \rightarrow \infty$, ¿cómo generalizar el enfoque que se aprecian en el real de la variable de métodos de como se ve y se define en $(2.)$.

Answer 1

No sé lo $f(n)$ usted está interesado en. No es de Cauchy del Teorema de los Residuos, la Serie de Fourier con Exponenciales Complejas, Parseval (Plancherel s) de Identidad, y de Sumación de Poisson Fórmula. Eche un vistazo a las respuestas a probar $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ en cada uno de los siguientes enlaces: Análisis Complejo Solución para el Problema de Basilea ($\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$) por el Teorema de los Residuos, http://math.cmu.edu/~bwsulliv/basilea-problema.pdf para Series de Fourier y la Identidad de Parseval, http://www.libragold.com/blog/2014/12/poisson-summation-formula-and-basel-problem/ por Sumación de Poisson.