número complejo ecuación

Question

Tengo esta ecuación: $$z^2=-i$$

Todo lo que puedo deducir de mi conocimiento es que

$$z^2=r^2\cos(2x)+i\sin(\cos(2x))$$ en este caso es:

$$\cos(3\pi/4)+i\sin(3\pi/4))$$ y que va a ser $$e^{3\pi/4}$$

debido a $-i =0-i$, de modo que $\cos2x=0$$\sin2x=-1$.

Estoy en el camino correcto? Me siento como que me falta algo.

La respuesta debería ser $\pm(-1+i)/\sqrt{2}$.

¿de dónde viene el $\sqrt{2}$?

Answer 1

Faltan algunas de las soluciones provenientes de la periodicidad de las $\cos$$\sin$. Tenga en cuenta que$\cos 2x = 0$$x = \frac{7\pi}{4}$. Estos dos "todas" las soluciones ya que el resto de la $x$ valores procedentes de la periodicidad de plomo a la misma $z$ valores. (En última instancia, usted está interesado en $z$$x$.)

El $\frac{1}{\sqrt 2}$ procede de la evaluación de la $\sin$ $\cos$ a los valores que le ha solucionado $x$.

Answer 2

Es básicamente cuestión de la raíz cuadrada . $$z=x+iy $$ $$x^2 - y^2 +2ixy=-i $$ $$x^2- y^2 =0 \qquad 2xy=-1$$ $$(x^2 + y^2 )^2=(x^2- y^2)^2 +(2xy)^2$$ $$(x^2 + y^2 )^2=1$$ $$x^2 + y^2 =1\space \space \text {and} \space \space x^2- y^2=0$$

Answer 3

Si $z=r(\cos(x)+i\sin(x))$,$z^2=r^2(\cos(2x)+i\sin(2x))$.

Si $z^2=-i$, entonces es fácil ver que $r=1$ y

$$\cos(2x)+i\sin(2x)=-i \tag1$$

Igualando las partes reales e imaginarias de $(1)$ se obtiene el par de ecuaciones

$$\begin{align}\cos(2x)&=0 \tag 2\\\\ \sin(2x)&=-1\tag 3\end{align}$$

De $(2)$, nos encontramos con que $x=\pi/4+n\pi/2$ cualquier $n$. Luego, señalando que $\sin(\pi/2 +n\pi)=(-1)^n$, nos encontramos con que $x=\pi/4+(2m+1)\pi/2$ cualquier $m$.

Por último, tenemos

$$\begin{align} z&=\cos(\pi/4+(2m+1)\pi/2)+i\sin(\pi/4+(2m+1)\pi/2) \\\\ &=\cos(\pi/4)\cos((2m+1)\pi/2)-\sin(\pi/4)\sin((2m+1)\pi/2)\\\\ &+i\left(\sin(\pi/4)\cos((2m+1)\pi/2)+\cos(\pi/4)\sin((2m+1)\pi/2) \right)\\\\ &=(-1)^m\frac{-1+i}{\sqrt2}\\\\ &=\pm \frac{-1+i}{\sqrt2} \end{align}$$

Answer 4

Diferentes formas de representar los números complejos:

$z = x + iy$

$z = \rho (\cos\theta + i \sin \theta)$

$z = \rho e^i\theta$

$z^2 = (x^2-y^2) + i(2xy)$

$z^2 = \rho^2 (\cos2\theta + i \sin 2\theta)$

$z^2 = \rho^2 e^{2i\theta}$

Esto es importante de fondo, y si no se siente cómodo rebotando entre estos, a continuación, revisar continuamente hasta que haga clic.

vamos a usar esta:

$z^2 = \rho^2 (\cos2\theta + i \pecado 2\theta) = -i\\ z^2 = (\cos \frac {3\pi}{2} + \sin \frac {3\pi}{2}) = -i\\ 2\theta = \frac {3\pi}{2}\\ \theta = \frac {3\pi}{4}\\ z = (\cos \frac {3\pi}{4} + \sin \frac {3\pi}{4})\\ z = -\frac {\sqrt 2}{2} + \frac {\sqrt 2}{2})\\ z = \frac{\sqrt 2}{2} (-1 + i)$

$z^2 = -i$ tiene dos soluciones. Usted puede elegir a pensar si como $\pm$ como era tan hábil con los números reales. Pero con números complejos, pienso en ello como la rotación en sentido horario y en sentido antihorario.

Así que creo que de la segunda solución como:

$z = (\cos \frac {7\pi}{4} + i \sin \frac {7\pi}{4})$ que se encuentra a medio camino entre el $\frac {3\pi}{2}$ $2\pi$

$z = \frac{\sqrt 2}{2} (1 - i)$

Answer 5

Si lo entiendo correctamente que es simplemente porque

$ \cos(3\pi/4) = -1/\sqrt{2} $

y

$ \sin(3\pi/4) = 1/\sqrt{2} $