En un libro que estoy leyendo (en Blanco, Exner, Havlíček: Espacio de Hilbert Operadores en Mecánica Cuántica), las funciones de los operadores se definen a través de la descomposición espectral para la auto-adjuntos a los operadores. La descomposición espectral es también bien definido para unitaria de los operadores, así que espero que funciona a través de estas también podrían ser definidos de forma análoga.
Entonces, sin embargo, a lo largo de la mecánica cuántica, uno a menudo encuentra la exponenciales de los operadores que no son ni y ni siquiera normal, como la aniquilación del operador (con espectro igual a $\mathbb{C}$) o la creación de operador (cuyo espectro está vacía, AFAIK). Este es generalmente entendido en términos de la expansión de Taylor,
$$\exp A = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac1{n!} A^n$$
que en los contextos pertinentes resulta ser bastante fácil de aplicar plazo sabio al $\exp A$ actúa sobre un vector. Obviamente este es un trabajo de todo con muchos riesgos peligrosos, teniendo en cuenta que la expansión de Taylor no funciona correctamente, incluso en la "canónica" de los usos de la exponencial (tomar, por ejemplo,
$$\exp \left( a \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right) f(x) \ne f(x+a)$$
para las funciones que se $C^\infty$ pero no analítica).
Mi pregunta es, hay una forma de definir la exponenciación rigurosamente para una clase más amplia de operadores? Por ejemplo, si sabemos que el espectro y todos los vectores propios de un operador, y aquellos que abarcan la totalidad del espacio (como la aniquilación del operador), sería verdad decir que su exponencial es un operador con el mismo vectores propios correspondientes a $e$ elevado a los respectivos valores propios? Lo que luego ocurriría en el caso de la creación de operador?
