Cómo se llama el teorema que dice que ${\frak{g}} \subseteq \{X \in M_n(R) \mid \forall t \in R : e^{tX} \in G\}$ ?

Question

Para un grupo de Lie matricial $G \subseteq GL_n(\mathbb{R})$ definimos el álgebra de Lie $\frak{g}$ como $T_0 G$ . A continuación, procedemos a demostrar la inclusión en el título para dar una definición de $\frak{g}$ en términos del mapa exponencial.

Estoy muy interesado en saber si este teorema tiene un nombre.

Answer 1

En general, si $G$ es un subgrupo de Lie de un grupo de Lie $H$ con las respectivas álgebras de Lie $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ entonces $$\mathfrak{g}=\{X\in\mathfrak{h}:\exp(tX)\in G,\forall t\in\mathbb{R}\}.$$ Nunca he visto ningún nombre unido a ese resultado, ya que es bastante elemental. (En última instancia, se desprende de la unicidad de las soluciones de las EDO). De todas formas, cualquier nombre que se le pusiera no sería muy estándar. Pero en cualquier caso, si usas este resultado, se te entenderá mucho más si lo expones claramente en forma general y das una referencia (por ejemplo, Lee, Introducción a las variedades lisas , segunda edición, proposición 20.9). Y quizás explique brevemente cómo implica su ejemplo particular: Es porque el álgebra de Lie de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ es isomorfo a $\mathrm{Mat}(n,\mathbb{R})$ y el mapa exponencial de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ viene dada por la matriz exponencial $\mathrm{Mat}(n,\mathbb{R})\to \mathrm{GL}(n,\mathbb{R}):X\mapsto e^X$ . (Véase la referencia anterior para una prueba de este hecho).