Puedo obtener la ecuación de $a^{-1} + b^{-1} = (a + b)^{-1}$ de ordinario + operación. Para el común de operación + me refiero a $a^{-1} = -a$. Esto también es cierto para * de los números racionales $3^{-1}*4^{-1} = \frac{1}{3} * \frac{1}{4} = \frac{1}{12}=(3*4)^{-1}$.
Me gustaría saber si es verdad para cualquier grupo Abelian? Si es cierto me gustaría saber ¿por qué?
Es cierto, pero, normalmente, si el grupo Abelian y está utilizando "$+$" como el símbolo para el grupo de operación, que iba a escribir la inversa de a $a$ $-a$ más que como $a^{-1}$.
Para ver que esto es cierto, cabe recordar que la $(ab)^{-1}$ ($a$ a la izquierda de $b$) es igual a $b^{-1}a^{-1}$ ($b$ a la izquierda de $a$) y, a continuación, recordar que desde el grupo Abelian, no importa lo que está a la izquierda.
Cuando el uso de $+$ para el grupo de operación, es más tradicional para escribir inversión como negación: es decir,
$$ (-a) + (-b) = -(a+b) $$
De todos modos, la ecuación es verdadera. Una declaración similar es válido para cualquier grupo:
$$ a^{-1} b^{-1} = (b a)^{-1} $$
La prueba es sencilla: $(ba)^{-1}$ es el único elemento del grupo de satisfacer la ecuación
$$ x (ba) = 1 $$
y $a^{-1} b^{-1}$ es una solución para $x$.
Con el aditivo de términos, la ecuación sería que $-(b + a)$ es la única solución a
$$ x + (b + a) = 0 $$
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