Puede la magnitud de un vector suma siempre igual a la suma de las magnitudes?

Question

Actualmente estoy tomando un curso de la universidad en el Álgebra Lineal y la Teoría de la Matriz. Un reciente conjunto de problemas se incluyó una pregunta que pide,

¿Qué se puede decir acerca de dos vectores distintos de cero $\vec{\alpha}$ $\vec{\beta}$ que satisfacen la ecuación: $$\|\vec{\alpha}+\vec{\beta}\| \ = \ \|\vec{\alpha}\| + \|\vec{\beta}\| \ $$ $$\vec{\alpha},\vec{\beta} \in \mathbb{R}^n$$

Estoy tratando de resolver esto a través de la búsqueda de una solución de esta ecuación derivada de la ley de los cosenos: $$\|\vec{\alpha}+\vec{\beta}\|^2 \ = \ \|\vec{\alpha}\|^2 + \|\vec{\beta}\|^2 - \ 2\|\vec{\alpha}\| \|\vec{\beta}\|\cos(\pi-\theta)$$ ...hasta el momento he sido incapaz de encontrar una solución válida y estoy tentado a afirmar que no existe no $\vec{\alpha}$ $\vec{\beta}$ para que la ecuación sea verdadera.

¿Hay algún caso en el que la magnitud de la suma de dos vectores es igual a la suma de las magnitudes?

Answer 1

Trabajar desde su punto de vista, distinto de cero $\vec\alpha$$\vec\beta$, $$ (\|\vec\alpha\|+\|\vec\beta\|)^2=\|\vec\alpha+\vec\beta\|^2=\|\vec\alpha\|^2+\|\vec\beta\|^2-2\|\vec\alpha\|\, \|\vec\beta\|\,\cos(\pi\theta). $$ Así que usted necesite $\cos(\pi-\theta)=-1$, que es exactamente $\theta=0$. Así que los dos vectores son colinear.

Answer 2

Sí. Esto ocurre exactamente cuando uno de los vectores es un escalar no negativo múltiplo de la otra.

Answer 3

En $\mathbb{R}^n$, tenemos que la igualdad implica su $$\langle a+b,a+b \rangle=(\Vert a\Vert+\Vert b \Vert)^2 ,$$ que, mediante el bilinearity del interior del producto, los rendimientos $$\Vert a \Vert^2+\Vert b \Vert^2 +2\langle a,b \rangle=\Vert a\Vert^2+\Vert b \Vert ^2 +2\Vert a \Vert \Vert b \Vert$$ $$\implies \langle a,b \rangle= \Vert a \Vert \Vert b \Vert.$$ Y la igualdad de Cauchy-Schwarz se sostiene solamente si ambos vectores son linealmente dependientes. (Tenga en cuenta que dado que no hay ningún módulo en el interior del producto en el lado izquierdo, no sólo deben ser linealmente dependientes, pero también se diferencian por un positivo de escala).

Como una nota al margen, la técnica anterior se cumple para cualquier producto interior en el espacio. Uno podría estar tentado a extender a cualquier normativa espacio, pero el resultado no es cierto. Como un ejemplo, uno puede tomar la $L^1([0,1])$ y $a=I_{[0,1/2]}$, $b=I_{[1/2,1]}$, donde $I_A$ es el indicador de la función en $A$.

Answer 4

Recordemos que $\|\vec x\|^2 = \vec x \cdot \vec x$.

Si un vector es cero, entonces la ecuación es trivialmente cierto, así que supongo que son diferentes de cero. Si usted cuadrado ambos lados de obtener $$ \| \vec \alpha \|^2 + 2(\vec \alpha \cdot \vec \beta) + \| \vec \beta \|^2 = \| \vec \alpha \|^2 + 2\|\vec \alpha\| \|\vec \beta\| + \| \vec \beta \|^2$$ de modo que $\vec \alpha \cdot \vec \beta = \|\vec \alpha\| \|\vec \beta\|$. Esto sólo puede suceder si los dos vectores apuntan en la misma dirección. (Para ver esto, mira la de Cauchy-Schwarz desigualdad dice, o calcular el ángulo de $$\theta = \arccos \frac{\vec \alpha \cdot \vec \beta}{\|\vec \alpha\| \|\vec \beta\|}$$ entre los dos vectores.)