Suma de todos los $x$ - $y$- intersecciones de la gráfica de $f(x)$ es igual a la suma de todas las $x$ - $y$- intersecciones de la gráfica de $f^{-1}(x)$

Question

La función de $f$ es uno-a-uno. Demostrar que la suma de todas las $x$ - $y$- intersecciones de la gráfica de $f(x)$ es igual a la suma de todas las $x$ - $y$- intersecciones de la gráfica de $f^{-1}(x)$.

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La sentencia dada parece obvio y cierto, pero no sé cómo demostrar teóricamente.
He intentado:

Deje $x_1,f(0)$ $x$intercepto en y $y$intercepto de la gráfica de la función $f(x)$.

La suma de todas las $x$ - $y$- intersecciones de la gráfica de $f(x)$: $$x_1+f(0)$$ No sé cómo resolver. Estoy atrapado aquí.

Answer 1

Usted dice $f(x)$ es uno-a-uno, por lo $f^{-1}(x)$ está bien definido. (Yo también asume que $f(x)$ intersepts la $x$ - $y$- eje, por razones obvias.) Tenemos la suma $$ x_1+f(0),$$ where $f(x_1)=0$ and let's say $f(0)=y_1$.

Esto significa que $f^{-1}(0)=x_1$$f^{-1}(y_1)=0$. Esto significa que $x_1$ $y$- intersept de $f^{-1}(x)$ y $y_1$ es su $x$-intersept.

Si se tiene en cuenta el $x$ - $y$- intersept de $f^{-1}(x)$ en la misma manera que lo hicimos para $f(x)$, obtenemos $$y_1+f^{-1}(0)=f(0)+x_1,$ $ , que es la misma suma de hecho.