Tarea:
Considere el grupo $\mathbb{Z_{\large18}}$ bajo la operación de adición modulo $18.\;$
Enumerar todos los elementos del orden $3.$
Mi profesor dijo que la respuesta era $6$ y $12$ .
¿Pero no es la respuesta $0,6,12\,?$
Porque $$\begin{align} \langle 6\rangle = & 6,\\ &6+6 = 12,\\&6+6+6 = 0\end{align}$$
¿O no es necesario incluir $0\,?$
Ha identificado los elementos en el subgrupo de orden tres: $$\{0, 6, 12\}$$
Se le pidió que encontrara el elementos de orden $3$ . Sólo dos de esos elementos del subgrupo tienen orden $3$ (cada uno de $6$ y $12$ genera el subgrupo anterior). En efecto, $0$ es el elemento de identidad de $\mathbb Z_{18}$ y también del subgrupo anterior, y tiene orden uno.
Así que esencialmente, si piden encontrar el número de elementos de orden 3. ¿Tendría que comprobar los elementos del subgrupo que tienen orden 3?
Sí, exactamente. Cada grupo de orden $3$ es cíclico, generado por cualquiera de los dos elementos de orden tres. En los grupos no abelianos, puede haber más de un subgrupo de orden tres. Recordemos cómo se define el orden de un elemento. Es el menor número entero positivo n tal que $a^n = e$ o en grupos bajo adición, es el menor número entero positivo tal que $na = 0$ . Más simple quizás es esto: el orden de un elemento $a$ es igual al orden del subgrupo $\langle a\rangle$ .
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