Posible afección sobre localmente Euclídeo subconjunto del espacio Euclídeo para ser incorporados submanifold II

Question

Dado un localmente Euclídeo (localmente homeomórficos para algunos el espacio Euclidiano) subconjunto $X\subset\mathbb R^n$$p\in X$, vamos a $\widetilde{\mathrm{T}}_pX$ el valor de la tangente conjunto de $X$$p$, es decir, el conjunto de los derivados de curvas diferenciables en $X$$p$.

Supongamos que para todos los $p\in X$ tenemos que $\widetilde{\mathrm{T}}_pX$ es un subespacio lineal de $\mathbb R^n$ de la dimensión de $\dim_pX$. De lo anterior se sigue que el $X\subset\mathbb R^n$ es un embbeded diferenciable submanifold?

Añadido. He aquí un pensamiento. Tal vez podamos localmente construir un mapa exponencial que es un diffeomorphism entre un barrio del plano tangente y de un barrio de $p$$X$. El uso de este diffeomorphism podemos mover entre una estructura diferenciable en a $X$ y las funciones diferenciables definidas en el mencionado barrio de el plano tangente.

Answer 1

Construir una función $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ por poner un suave golpe de altura $2^{-n}$ apoyado en una bola de radio $2^{-3n}$ $(0,2^{-n}),$ para cada entero positivo $n.$ Esta función es suave, excepto en $(0,0).$ Deje $X$ ser la gráfica de $\{(x,y,f(x,y))\}.$ la proyección sobre La primera de dos coordenadas es un homeomorphism en $\mathbb R^2,$ y restringe a un diffeo de $X\setminus\{(0,0,0)\}$ $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$, por lo que la tangente conjuntos son buenas, excepto posiblemente en a $(0,0,0).$ $(0,0,0),$ para cada vector tangente $(x,y,0)$ no paralelo a $(0,1,0)$ que puede tomar una línea recta $(tx,ty,0)$ ($t$ pequeñas), como la tangente de la curva. Y para $(0,1,0)$ podemos tomar $(t^2,t,0).$

Answer 2

Este MO respuesta también implica una respuesta negativa a mi pregunta. El segundo subconjunto construido allí no admite una estructura diferenciable haciendo que su inclusión en un diferenciable de la incrustación.

Aquí es un dibujo áspero y aquí es aproximada de la descripción de ¿por qué en este ejemplo se cumple la condición en cuestión.