¿Cómo podemos parametrise este matricial hypersphere?

Question

Lo que yo llamo una matricial hypersphere por falta de un reconocido nombre es el conjunto de $\mathbb{R}^{p\times k}$ definido por $$\mathfrak{H}=\left\{ a_1,\ldots,a_k\in \mathbb{R}^{p};\ \sum_{i=1}^k a_i a_i^\text{T} = \mathbf{A} \right\}$$ donde $\mathbf{A}$ $p\times p$ simétrica positiva semi-definida la matriz de rango $k$ $(k\le p)$. Mis preguntas son

1. Es este un objeto conocido?
2. Dada la matriz $\mathbf{A}$ hay una finalización de $\mathbf{A}$ a un objeto en bijection con $\{a_1,\ldots,a_k\}$, que es mi sentido de la parametrización?
3. ¿cuál es el tamaño o dimensión de la $\mathfrak{H}$?

Nota: Este objeto no surge de la nada. Aparece en el lineal de regresión, donde la $a_i$ vector es una colección de regresión los coeficientes, y en conexión con Wishart distribuciones, donde el $a_i$'s son Normales variables. Yo en realidad necesidad de encontrar un reparameterisation de la $a_i$'s dado $A$ a proceder a una investigación problema.

Answer 1

El punto 1) Vamos a $B$ ser la matriz con columnas $a_i$: su descripción es equivalente a

$$\tag{1}BB^T=A$$

Por lo tanto, se da una simétrica semi-definida positiva $n \times n$ matriz $A$ con rango $k$, $\frak{H}$ puede ser identificado con el conjunto de $n \times k$ matrices $B$ tal que $A$ puede ser escrita en la forma (1).

Nota: la fórmula (1) es "arriba a la multiplicación por un $k \times k$ ortogonal de la matriz $\Omega$" (con la propiedad $\Omega\Omega^T=I_k$). Más precisamente, cualquier descomposición de la forma (1) genera una familia de descomposición:

$$\tag{2}B\Omega\Omega^TB^T=A \ \ \Leftrightarrow \ \ B'B'^T=A \ \ \text{with} \ \ B':=B\Omega$$

El punto 2): con Respecto a la parametrización, no podía utilizar más o menos clásica, el proceso de parametrización de la (grassmannian) colector de $k$-dimensiones de los subespacios en $\mathbb{R^n}$ ? Una referencia (http://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/schubertcalculusreview.pdf). Tomemos un ejemplo con $n=3$$k=2$ :

$$B^T=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&y\end{pmatrix}$$

(He tomado $B^T$ debido a que el "paisaje" de la forma más fácil de trabajar).

La idea detrás de esta parametrización que pone en evidencia un primer bloque de $I_k$ es este :

Considere la posibilidad de $B^T$, que es el rango-$k$ matriz con $k$ filas y $n$ columnas.

Se puede escribir bajo la forma de bloque $B^T=(C|D)$ donde $C$ es de planta cuadrada.

Multiplicando (en el mismo espíritu, como en (2) por $C^{-1}$, se obtiene $(I_k|E)=(I_k|C^{-1}D)$ ;

Como conclusión parcial, matrices $B$ tal que $B^TB=A$ corresponden en una bijective manera de k dimensiones de los subespacios en $\mathbb{R}^n$, lo que puede ser parametrizado de la misma manera como ellos, el uso de $k \times (n-k)$ parámetros.

Punto 3) en consecuencia, $\frak{H}$ considera como un colector (que evidentemente no es un espacio vectorial), tiene dimensión $k(n-k)$. Véase, por ejemplo, de Intercambio de la Pila pregunta (¿Cuál es la dimensión de este Grassmannian?).

Otra referencia vinculados a las aplicaciones estadísticas: (http://www.cis.upenn.edu/~cis515/Turaga_Stiefel_2011.pdf).