Demostrando que $\{u_k\}_{k=1}^\infty$, $u_k=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{k},0,0,\dots\right\}$, no convergen en un espacio métrico

Question

Deje $\ell$ el conjunto de secuencias de números reales, donde sólo un número finito de términos son diferentes de cero $$\ell = \big\{\{x_n\}_{n=1}^\infty :x_i=0\text{ for all but a finite number of }i\text{-s}\big\}.$$ For $x=\{x_n\}$ and $s=\{y_n\}$ in $\ell$, define $$d(x,y)=\sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n-y_n|.$$ Deje $u_k\in\ell$ ser definido por $$u_k=\bigg\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{k},0,0,\dots\bigg\}.$$ Mostrar que $\{u_k\}_{k=1}^\infty$ es convergente, o mostrar que $\{u_k\}_{k=1}^\infty$ no es convergente.

Mi estrategia para mostrar que $\{u_k\}$ no es convergente, es demostrar que converge a $a=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots\}$ que no está contenida en $\ell$.

Deje $\epsilon>0$ ser dado. Podemos optar $N=\lceil 1/\epsilon \rceil$, de tal forma que si $n\ge N$ \begin{align} d(u_n,a) &= d\left(\left\{1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n},0,0,\dots\right\}, \left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots\right\}\right) \\ &= \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}\le \frac{1}{N} \le \epsilon. \end{align}

Denota el conjunto de todos los delimitada secuencias de números reales por $\ell^*$, es decir,$$\ell^* = \big\{\{x_n\}_{n=1}^\infty:x_i\in\mathbb{R} \text{ for all }i\in\mathbb{N} \big\},$$ it seems clear that $\ ell\subconjunto \ell^*$ and that $\en\ell^*$. Also, since $\{u_k\}\rightarrow\en\ell^*$ it cannot also converge to some other $b\in\ell^*$. Thus there is no way it can converge in $\ell$.

¿Esto tiene sentido? Esta es una estrategia válida para mostrar que algo no convergen en algunos de espacio métrico?

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Sí. La finalización de la $\ell^*$ es un espacio de Hausdorff, por lo que el límite es único. Ya que el límite se encuentra en $\ell^*\setminus\ell$, no puede ser cualquier otro límite en $\ell$.

Tenía que decir, lo que se escribe como una definición de la $\ell^*$ no es el espacio de secuencias delimitadas, pero el espacio de todas las secuencias. Ninguno de estos dos es lo que usted está buscando, porque la terminación $\ell^*$ contiene todas las secuencias $\{x_1,x_2,x_3,\dotsc\}$ tal que $x_i\xrightarrow{i\to\infty}0$.

Answer 2

No, No han dado $\ell^\star$ una topología de modo que no tiene sentido decir que $\{u_k\} \to a$$\ell^*$, e incluso entonces usted necesita mostrar que $\ell^*$ es separado para que la secuencia no puede converger a dos límites en el mismo tiempo.

En lugar usted puede hacer totalmente sencillo prueba de que no convergen :

Deje $a \in \ell$. Quiere mostrar que $(u_k)$ no concurre $a$, por lo que necesita para dar un $\epsilon > 0$ tal que $d(u_k,a) > \epsilon$ para infinidad de $k$.

Desde $a_i$ es distinto de cero para un número finito de números enteros, tiene que haber alguna $i$ tal que $a_i = 0$. Entonces, para cualquier $k \ge i$, $d(u_k,a) \ge |(u_k)_i - a_i| = \frac 1i$.

Y por lo que se realiza mediante la selección de $\varepsilon = \frac 1i$