como parte de suma importancia

Question

Deje $A$ ser un anillo conmutativo con $1$. Supongamos que $P \subseteq Q$ son los principales ideales en $A$ y $M$ $A$- módulo. Demostrar que la localización de la $A$-módulo de $M_{Q}$ $P$ es la localización de la $M_{P}$, yo.e $(M_{Q})_{P} = M_{P}$.

Sugerencia del libro: Utilice el hecho de que $S^{-1}A \otimes _{A} M \cong S^{-1}M$ $S^{-1}A$ módulos.

He aquí lo que tengo:

Primer set $S=A \setminus P$$T=A \setminus Q$, luego por supuesto de $T \subset S$.

Así que el uso de la sugerencia:

$S^{-1}(T^{-1}M) \cong S^{-1} \otimes_{A} T^{-1}M \cong S^{-1} \otimes_{A} (T^{-1} \otimes_{Un} M) \cong (S^{-1} \otimes_{A} T^{-1}) \otimes_{Un} M$

A partir de aquí estoy atascado. Puede usted por favor ayuda?

Answer 1

Cómo acerca de: Tomando nota de que $(A_Q)_P=A_P$, $$(M_Q)_P=(A_Q)_P \otimes_{A_Q} M_Q = A_P \otimes_{A_Q} (A_Q \otimes_A M)=(A_P \otimes_{A_Q} A_Q) \otimes_A M =A_P \otimes_A M = M_P$$

Añadido posterior: Prueba de $(A_Q)_P=A_P$, mapa $$A_P \rightarrow (A_Q)_P$$ by $$a/s \mapsto (a/1)/(s/1)$$ Este es inyectiva, y si elegimos $(a/t)/(s/t') \in (A_Q)_P$, entonces este es golpeado por $at'/st \in A_P$, ya que el $(at'/1)/(st/1)=(a/t)/(s/t')$$(A_Q)_P$.

Answer 2

Esto es un poco desordenado, pero funciona:

Tenga en cuenta que $S^{-1}A$ $T^{-1}A$ naturalmente $(A,T^{-1}A)$-bimodules, de modo que, como $(A, T^{-1}A)$-bimodules,

$$S^{-1}A \otimes_A T^{-1}A \simeq (T^{-1}A \otimes_{T^{-1}A}S^{-1}A) \otimes_A(T^{-1}A \otimes_{T^{-1}A}T^{-1}A)$$

$$\simeq (S^{-1}A \otimes_{T^{-1}A}T^{-1}A) \otimes_A(T^{-1}A \otimes_{T^{-1}A}T^{-1}A)$$

$$\simeq S^{-1}A \otimes_{T^{-1}A}((T^{-1}A \otimes_AT^{-1}A) \otimes_{T^{-1}A}T^{-1}A)$$

$$\simeq S^{-1}A \otimes_{T^{-1}A}T^{-1}A \simeq S^{-1}A$$

Ahora acaba de sustituir a este en su secuencia de isomorphisms y el uso de la definición.

Answer 3

Debe ser fácil de demostrar, usando la característica universal del tensor de productos de álgebras y de localización, que para cada una de las $A$-álgebra $f\colon A \to B$ $f(S) \subset B^*$ hay un único homomorphism de $A$-álgebras $S^{-1}A \otimes_A T^{-1}A \to B$. Aquí el $A$-álgebra estructura $A \to S^{-1}A \otimes_A T^{-1}A$ está dado por $a \mapsto a \otimes 1 = 1 \otimes a$.