¿Qué hace un marco de referencia que significan en términos de colectores?

Question

Debido a mi formación matemática, he estado encontrando difícil de relacionar la física-hable he estado leyendo, con los objetos matemáticos.

(Digamos especial) de la relatividad de einstein, tenemos un colector de Lorenz, $M$. Este colector tiene un atlas con coordenadas locales.

En geometría diferencial, cuando la gente habla de un " cambio de coordenadas que significa pasar de un sistema de coordenadas local en este atlas, a otro. Por ejemplo, un sistema de coordenadas en este atlas es un mapa de $\phi_1: U_1 \rightarrow V$ donde $V$ es un conjunto abierto de $M$, e $U$ es un conjunto abierto de $\mathbb{R}^4$; y si otro es $\phi_2: U_2 \rightarrow W$ es otro de ($U_2$ y en $\mathbb{R}^4$, e $W$ abierto en $M$), $\phi_1^{-1} |_{V\cap W}\circ \phi_2|_{\phi_2^{-1}(V\cap W)}$ es un cambio de coordenadas.

Sin embargo, en la física parece que el significado es diferente. De hecho, si $p \in M$, entonces usted puede tener un marco de referencia en $p$, pero también puede tener un marco de referencia que se aceleró en $p$. No estoy seguro de cómo interpretar este matemáticamente! ¿Qué es la matemática analógica de tener una acelerada marco de referencia en un punto, en lugar de tener un marco inercial de referencia en un punto?

Ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Observaciones:

1. En la siguiente explicación de 4 dimensiones espacio-tiempos de $M$ equipada con una métrica de la firma (3,1) son considerados.

2. Hay varias páginas de Wikipedia el tratamiento de los cuadros (a veces llamado tétradas o Vielbeins) en GR. Véase, por ejemplo, aquí, aquí y aquí

3. Hay un muy buen capítulo introductorio sobre el tema en el capítulo 5 de estas notas por: R. Aldrovandi y J. G. Pereira.

Un marco en el GR se refiere a un conjunto de cuatro campos vectoriales $\mathbf{e}_a: M \rightarrow TM$, $a=0, 1,2,3$ la satisfacción de la restricción de la ecuación:

$\mathbf{g} = \eta^{ab} \mathbf{e}_a \mathbf{e}_b$,

donde $\mathbf{g}$ es el inverso del tensor métrico y $\eta^{ab}$ es el plano de Lorenz métrica.

Estos campos vectoriales puede ser pensado como la asignación de las coordenadas de los vectores de algunos Mikowski espacio a través del sistema de coordenadas local para el espacio de la tangente. En términos físicos, asociamos a cada un marco con un observador local.

Ahora, básicamente, podemos trabajar con los componentes del marco de campos vectoriales en lugar de la métrica, pero se observa que el marco de los campos de 16 componentes, mientras que la métrica (debido a su simetría) sólo el 10 componentes. Esta redundancia es debido al hecho de que el marco de los campos no son únicas, y un nuevo conjunto de marco campos $\mathbf{e}^{\prime}_a$ satisfactorio

$\mathbf{e}^{\prime}_a = M_a^b(x) \mathbf{e}_b$

cumple la misma restricción, donde $M_a^b(x)$ es una transformación de Lorentz de la matriz (es decir, la satisfacción de $M_a^b(x) M_c^d(x) \eta_{bd} = \eta_{ab}$)

Por favor observe que podemos elegir una que no sea constante transformación de Lorentz, dependiendo de la ubicación en el colector, por esta razón, estas transformaciones son llamados locales de transformación de Lorentz.

Ahora la dimensión recuento de cheques: 16 componentes del marco = 10 Métrica componentes + 6 transformaciones de Lorenz en cada punto.

Este formalismo puede parecer un simple cambio de variables, pero esta no es toda la historia.

En primer lugar, las transformaciones de Lorenz puede ser visto como secciones de un director de una $SO(3,1)$ paquete de más de $M$ (a Este conjunto se llama $SO(M, \mathbf{g})$. Por lo tanto esta formulación es una formulación de la GR como una teoría de gauge.Ahora, ya podemos permitir que el local de la transformación de Lorentz a depender de las coordenadas, este formalismo permite definir la aceleración de marcos, simplemente por tomar thelocal transformaciones de Lorenz a depender del tiempo.

En segundo lugar, en la formulación estándar de GR permite puede definir clásica de los campos como en las secciones de paquetes cuyo local transformaciones son funciones de la transformación de coordenadas (diffeomorphisms) de la base del colector. Estos paquetes se denominan naturales paquetes, por ejemplo la transformación de coordenadas de la recta tangente paquete es la matriz Jacobiana de las transformaciones de coordenadas de la base del colector. (De manera similar, la inversa de la matriz Jacobiana de la cotangente del paquete). Así, el estándar de la formulación de GR permite la definición de campos vectoriales, tensor de campos, etc. pero no spinor campos, que son muy importantes en la física. Spinor paquetes no son naturales, pero no hay manera natural de definir un general de transformación de coordenadas de un spinor campo dado un diffeomorphism de la base del colector.

Sin embargo, si la base del colector $M$ tiene un giro de la estructura de la trama formalismo permite definir spinor campos de la siguiente manera: Desde $M$ es girar, $SO(M, \mathbf{g})$ puede ser elevada a una vuelta bundle $Spin(M, \mathbf{g})$ , luego de un spinor paquete es el asociado paquete correspondiente a una fundamental spinor representación, y spinor campos son secciones de la spinor paquete.

Esta construcción se puede realizar en coordenadas locales de la siguiente manera:

En primer lugar, podemos formar el doble marco de $\mathbf{e}^a: M \rightarrow T^{*}M$ que requieren:

$\langle \mathbf{e}^a, \mathbf{e}_b \rangle = \delta^a_b$

El marco doble puede ser utilizada para definir el marco de los componentes de cualquier campo vectorial $\mathbf{V}$:

$V^a = \langle \mathbf{e}^a, \mathbf{V} \rangle$

Conversly, uno puede formar la "curva" de los componentes de vectores utilizando el marco original. Por ejemplo, considere las matrices de Dirac $\{\gamma^a\}$ generar el álgebra de Clifford $Cl(3,1)$. A continuación, sus curvas de componentes están dados por:

$\gamma^{\mu} = \gamma^a e_a^{\mu}$

Más generalmente, se utiliza la métrica $\mathbf{g}$ inferior de la "curva de los índices", la inversa de la métrica para elevar la "curva de los índices". y del mismo modo, la métrica de Lorentz $\mathbf{\eta}$ para el televisor de índices. Uno utiliza el marco de los vectores y su doble para reemplazar curvas índices con tv de índices y vice-versa.

A continuación ,el giro de conexión

se define como:

$\omega_{\mu}^{ab} = e^a_{\nu}(\partial_{\mu} e^{\nu b}+ e^{\sigma b}\Gamma^{\nu}_{\sigma \nu})$

donde, $\Gamma^{\nu}_{\sigma \nu}$ es la de Levi-Civita de conexión.

No es difícil comprobar (mirando el local de la transformación de Lorentz) que $\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$ es una conexión en $Spin(M, \mathbf{g})$ donde $\sigma_{ab}$ son los generadores de la fundamental spinor representación.

1. Utilizando los datos anteriores, el totalmente covariante ecuación de Dirac en $M$ toma la forma:

$-i \gamma^{\mu} D_{\mu} \psi + m \psi = 0$,

donde $D_{\mu}$ es la derivada covariante asociados con el giro de la conexión

$ D_{\mu} = \partial_{\mu}-i\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$

Por lo tanto totalmente covariante ecuación de Dirac se ve igual que la ecuación de Dirac, junto a un medidor de campo dado por el giro de la conexión.

Clásica de los campos donde esta construcción es posible de secciones de paquetes llamado "calibre natural paquetes".

Es importante mencionar que la solución de la totalmente covariante ecuación de Dirac depende del marco de los campos, pero en cantidades observables, tales como el número de obligado unidos, por ejemplo, solo depende de la métrica.

Actualización:

Dado que los observadores locales se identifican con los puntos sobre las fibras de la trama paquete, a continuación, todos los cuadros son inerciales, ya que pueden ser obtenidos a partir de la acción de una transformación de Lorentz en una sola trama (es decir, el punto en la fibra). Los parámetros de la transformación de lorentz son los vectores de velocidad y la orientación de la trama. Es explícito en las ecuaciones que nos puede permitir variable transformaciones de Lorenz, es decir, transformaciones de Lorenz dependiente de la en el local de coordenadas de la base del colector, en especial en la época de coordenadas. Ahora voy a dividir mi respuesta en dos partes:

Partículas: Supongamos que los cuatro vectores de velocidad de una partícula que se mueve en una geodésica está dada por $V^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}$, ($\tau$ es cualquier parámetro a lo largo de la ruta), a continuación, en el marco de las coordenadas de este vector son: $V^a = e^a_{\mu} V^{\mu}$ y los componentes de la velociy medido por un observador en movimiento con una velocidad definida por el Lorenntz matriz $M(x)$ $V^{\prime b} = M^b_a(x) V^a$. De nuevo, una variable $M$ indica una aceleración de la trama.

Campos: Las ecuaciones de movimiento será covariante con respecto a estas transformaciones, porque para las secciones natural de los lotes, el marco de vectores no aparecen en las ecuaciones de movimiento, mientras que en el caso de la galga naturales, tales como secciones de spinors estos (variable de Lorentz) transformaciones aparecerá como indicador de las transformaciones y las ecuaciones de movimiento se construyen para ser invariante gauge. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento no son afectados por los locales de transformación de Lorentz, o en otras palabras, la Física se ve el código asme para todos los observadores, incluso si están acelerando.

Answer 2

David de la Barra de Moshe ha dado una muy completa respuesta a un alto nivel de sofisticación en matemáticas y física. Si que se adapte a las necesidades de la cooperativa y a los demás que leen esta página, es genial. Me gustaría tomar una foto en abordar el OP pregunta en un lenguaje más sencillo.

GR no han global de los marcos de referencia de la forma en que SR. (Cuando David de la Barra de Moshé dice, "Un marco en el GR significa ...", con lo que la definición no es un marco de referencia mundial, es una colección de local marcos de referencia definidos, cada uno en un punto diferente.) Como un ejemplo concreto, en SR esperamos ser capaces de decir que en el objeto de Un marco de referencia, objeto distante B tiene bien definido la velocidad. En GR, no se puede hacer esto. Por ejemplo, si Una es nuestra galaxia y B es de algunos cosmologically galaxia distante, entonces no hay ninguna forma única y bien definida de la definición de B es la velocidad en Un frame. Podemos decir que B está en movimiento con respecto A, o podemos decir que tanto a como B están en reposo y el espacio entre ellas está expandiendo. GR no decir que una de estas descripciones verbales, es preferible a la otra.

El OP está preguntando acerca de los gráficos y los atlas y cómo se relacionan con los cambios de los marcos de referencia. No. Todos los temas interesantes, puede ser discutido sin tener que lidiar con un colector que requiere más de una tabla. Por ejemplo, en FRW modelos cosmológicos, usted puede cubrir la totalidad del espacio-tiempo con un solo gráfico, utilizando coordenadas $(t,x,y,z)$, y normalmente se podría hacer esto de tal manera que una galaxia en reposo con respecto a la del Hubble flujo constante de x, y y z. Un ejemplo de un cambio de coordenadas sería $t\rightarrow 2t$. En este espacio-tiempo, no existe la noción de un marco global de referencia, y no hay nada que desempeña el papel de un Lorentz impulso como sería en el SR. Si intenta aplicar la costumbre de las ecuaciones de transformación de Lorentz $(t,x,y,z)$, se obtiene un conjunto de coordenadas $(t',x',y',z')$ que son perfectamente válidas, pero totalmente carentes de interés, físicamente, y usted no puede interpretar los nuevos, como un marco que se mueve a cierta velocidad relativa a un marco definido por los antiguos.

Re el OP pregunta acerca de la aceleración frente a nonaccelerating, GR es relativamente agnóstico acerca de esto. Debemos distinguir los marcos de coordenadas, sin embargo. Cualquier cambio suave de coordenadas (diffeomorphism) está permitido, y no tiene ningún efecto sobre la forma de las leyes de la física (ecuaciones de campo de Einstein). Por ejemplo, puede describir los planos espacio-tiempo de aceleración de coordenadas, en donde parece haber un campo gravitatorio: http://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates En términos de marcos, tenemos preferido marcos en el GR, que son los marcos de observadores que están en caída libre. En el GR, en el marco de una roca sentada en el suelo es considerado noninertial, y en el marco de una piedra que cae es considerado inercial; es exactamente lo contrario de lo que diría en la física Newtoniana.

Answer 3

Quiero añadir mi personal forma de entender el concepto de marco de referencia.

En los artículos:

• Marmo, G., Preziosi, B. (2006). La Estructura Del Espacio-Tiempo: La Relatividad De Los Grupos. Revista internacional de Métodos Geométricos en Física Moderna, 03(03), 591-603.
• Marmo, G., Preziosi, B. (2005) la existencia Objetiva y la relatividad de los grupos. Las simetrías en la Ciencia XI, 445-458.

se presenta un enfoque hacia marcos de referencia que he encontrado físicamente útil.

Esencialmente un marco de referencia $\mathcal{R}$ se define como un tensor (1,1) en el espacio-tiempo colector $\mathcal{M}$ tal forma que:

• es de grado uno, es decir, no es descomponible como $\mathcal{R}=\theta\otimes T$ donde$\theta\in\Lambda^{1}(\mathcal{M})$$T\in\mathfrak{X}(\mathcal{M})$;

• es tal que $\theta(T)=1$.

En general relativista de configuración podemos elegir $T$ a ser timelike y $\theta$ a ser su doble forma. Esto es lo suficientemente cerca como para el enfoque por medio de la tríada.

Las curvas integrales de $T$ define el worldlines de diferentes observadores en $\mathcal{R}$.

La cosa importante a tener en cuenta es que la tangente bundle $T\mathcal{M}$ $\mathcal{M}$ está dividido como:

$$ T\mathcal{M}=\mathcal{R}^{t}\oplus\mathcal{R}^{s} $$

donde la distribución del tiempo es $\mathcal{R}^{t}=span(T)$ y la distribución del espacio es $\mathcal{R}^{s}=Ker(\theta)$.

Este es, en general, sólo un local de la división, lo que refleja el hecho de que, en general, no hay mundial de marcos de referencia.

Si tenemos $\theta\wedge d\theta=0$ $\theta$ da lugar a una integrable foliación (por medio del teorema de Frobenius), y las hojas de este foliaciones son los locales, espacios de descanso de la imagen de referencia.

Si por otra parte $\theta=df$, a continuación, el marco de referencia es synchronizable. Esto significa que hay una correspondencia uno a uno entre las hojas espacial de la foliación (local, espacios de descanso) y la evolución del parámetro de la curva integral de $T$, con lo que diferentes observadores en este marco de referencia poseen una noción común de Tiempo.

Se puede hablar de una aceleración o marco de referencia inercial por la elección de diferentes campos vectoriales $T$.

Por ejemplo, en el espacio-tiempo de Minkowski la (global) marco de referencia:

$$ \mathcal{R}=dx^{0}\otimes\partial_{x^{0}} $$ es inercial en el sentido de que, siendo $T=\partial_{x^{0}}$ geodésica campo vectorial:

$$ \nabla_{T}T=0 $$ con respecto a la métrica plana de conexión en el espacio-tiempo de Minkowski, sus curvas integrales $\gamma(\tau)$ satisfacer las ecuaciones:

$$ \frac{d^{2}\gamma^{\mu}(\tau)}{d\tau^{2}}=0 $$ Las curvas integrales son líneas rectas.

Geodesics marcos de referencia no tienen aceleración en el sentido de que el campo de vectores $T$, siendo la geodésica, es tal que $a_{T}=\nabla_{T}T=0$ donde $a_{T}$ es el vector de aceleración de campo. Esto no significa que en una que no es plano espacio-tiempo de una geodésica es el marco de referencia inercial, de hecho, si la métrica, la conexión no es plana, entonces la integral de las curvas de la línea geodésica campo de vectores $T$ no $\frac{d^{2}\gamma^{\mu}(\tau)}{d\tau^{2}}=0$, y por lo tanto no son líneas rectas.

Sé que esta respuesta no es tan clara y profunda como la de los demás, sin embargo creo que este enfoque hacia marcos de referencia puede ser útil, ya que puede ser utilizado en diferentes contextos de la general relativista, mientras que en la tríada formalismo está naturalmente ligado a la relatividad general.

A este propósito no es otro enfoque hacia marcos de referencia como casi estructuras de los productos, es decir, a partir de la división de $T\mathcal{M}=\mathcal{R}^{t}\oplus\mathcal{R}^{s}$ sin usar el campo de tensores $\mathcal{R}$, sin embargo, yo no recuerdo la referencia para esta (tal vez era algo por D. H. Delpenich).

Por último, quiero añadir una fácil aplicación del concepto de marco de referencia en la Electrodinámica me parece muy interesante.

En la Teoría Clásica del Electromagnetismo en el espacio-Tiempo de Minkowski $\mathcal{M}$ el Campo Electromagnético $F$ es visto como la curvatura $2$-forma de la retirada de una $U(1)$-director de la conexión en $\mathcal{M}$, entonces es fácil ver que la elección del marco de referencia $\mathcal{R}=dx^{0}\otimes\partial_{x^{0}}$ permite la definición de un diferencial de un formulario (campo eléctrico):

$$ E:=i_{T}F\equiv - E_{1}dx^{1} - E_{2}dx^{2} - E_{3}dx^{3} $$ y un diferencial de dos formas (campo magnético):

$$ B:=F - \theta\wedge i_{T}F\equiv B_{3}dx^{1}\wedge dx^{2} - B_{2}dx^{1}\wedge dx^{3} + B_{1}dx^{2}\wedge dx^{3} $$ tal que las ecuaciones de Maxwell $dF=0$ $d\star F=0$ puede ser escrita como:

$$ 0=\vec{\nabla}\times \vec{E} + \frac{d\vec{B}}{dt}=\left\{\begin{array}{c} \partial_{2}E_{3} - \partial_{3}E_{2} + \partial_{0}B_{1} \\ \partial_{3}E_{1} - \partial_{1}E_{3} + \partial_{0}B_{2} \\ \partial_{1}E_{2} - \partial_{2}E_{1} + \partial_{0}B_{3}\end{array}\right. $$

$$ 0=\vec{\nabla}\times \vec{B} - \frac{d\vec{E}}{dt} =\left\{\begin{array}{c} \partial_{2}B_{3} - \partial_{3}B_{2} - \partial_{0}E_{1} \\ \partial_{3}B_{1} - \partial_{1}B_{3} - \partial_{0}E_{2} \\ \partial_{1}B_{2} - \partial_{2}B_{1} - \partial_{0}E_{3}\end{array}\right.\;\;\; $$

$$ 0=\vec{\nabla}\cdot \vec{B}=\partial_{1}B_{1} + \partial_{2}B_{2} + \partial_{3}B_{3} $$

$$ 0=\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\partial_{1}E_{1} + \partial_{2}E_{2} + \partial_{3}E_{3} $$ que no es sino la formulación de las ecuaciones de Maxwell, originalmente propuesto por Maxwell antes de la Relatividad Especial.

Answer 4

Creo que el equivalente matemático de la terminología a un marco inercial es "normal coordenadas" en el punto de $p$. Es decir, en sus coordenadas de la métrica en $p$ es sólo el plano de Minkowski métrica y todas las primeras derivadas de la métrica se desvanecen en $p$. Por el contrario, un acelerado marco sería cualquier coordenadas que no son normales.

Answer 5

Es probable que la media de la consideración de un mapa a un marco de referencia acelerado observador discutido, por ejemplo, en ch. 13.6 de Misner, Thorne, Wheeler, "Gravitación". Tal vez es simple para empezar con la consideración de sistema de coordenadas correspondiente a movimiento con aceleración constante en la cad. 26 de Pauli "la Teoría de la relatividad" sobre hiperbólico de movimiento.