Es cierto que $E[X|X^2] = X$?

Question

Deje $X$ ser una variable aleatoria integrable. Quiero saber si es cierto que $E[X|X^2] = X$.

Al principio pensé que esto es cierto porque los $X$ es medible con respecto a la $\sigma$-álgebra generada por $X^2$, debido a $f(x) = x^2$ es Borel medible función. Pero después de un tiempo me di cuenta de que: $$\sigma(f(X))\subset \sigma(X)$$ La prueba está en este documento pdf, Teorema 52.

Como consecuencia, $X$ no es necesariamente medibles con respecto a $\sigma(f(X))$, lo $E[X|X^2] = X$ es falso.

Quiero saber si estoy equivocado, o si hay una mejor manera de comprobar si $E[X|X^2] = X$ es cierto o no.

Answer 1

Tu explicación está muy bien (y lo Hizo el comentario se refiere al caso donde $X$ tiene un pdf)), pero un contraejemplo puede ser más sencillo.

Tome $X$ a ser un Rademacher variable aleatoria, es decir, en uniforme de $\{-1,1\}$. A continuación,$X^2=1$.s., por lo $\mathbb{E}[X\mid X^2] = \mathbb{E}[X] = 0 \neq X$.

---

Como se mencionó en un comentario más abajo, esto se generaliza a cualquier simétrica (y no un cero.s.) variable aleatoria.