Pregunta. Supongamos que $X=\{\heartsuit,\diamondsuit,\clubsuit,\spadesuit\}$ y $\pi$ es una acción de $\mathcal{D}_8=\{1,r,r^2,r^3,s,rs,r^2s,r^3s\}$ Satisfaciendo a $$\pi_r(\heartsuit)=\spadesuit,\quad\pi_r(\diamondsuit)=\clubsuit,\quad\pi_r(\spadesuit)=\heartsuit,\quad\pi_r(\clubsuit)=\diamondsuit,$$ $$\pi_s(\heartsuit)=\diamondsuit,\quad\pi_s(\diamondsuit)=\heartsuit,\quad\pi_s(\spadesuit)=\spadesuit,\quad\pi_s(\clubsuit)=\clubsuit.$$ Encuentre la órbita y el estabilizador de $\diamondsuit$ .
Mi idea inicial era construir $\pi_g$ para todos $g\in\mathcal{D}_8$ por ejemplo $$\pi_{rs}(\heartsuit)=\pi_r\circ\pi_s(\heartsuit)=\pi_r(\diamondsuit)=\clubsuit,$$ $$\pi_{rs}(\spadesuit)=\pi_r\circ\pi_s(\spadesuit)=\pi_r(\spadesuit)=\heartsuit,$$ $$\pi_{rs}(\diamondsuit)=\pi_r\circ\pi_s(\diamondsuit)=\pi_r(\heartsuit)=\spadesuit,$$ $$\pi_{rs}(\clubsuit)=\diamondsuit.$$
Por cierto, continuar con esto da $$\pi_{r^2s}(\diamondsuit)=\heartsuit,\quad\pi_{r^2s}(\heartsuit)=\diamondsuit,\quad \pi_{r^2s}(\clubsuit)=\clubsuit,\quad\pi_{r^2s}(\spadesuit)=\spadesuit.$$ $$\pi_{r^2}(\diamondsuit)=\diamondsuit,\quad\pi_{r^2}(\heartsuit)=\heartsuit,\quad\pi_{r^2}(\spadesuit)=\spadesuit,\quad\pi_{r^2}(\clubsuit)=\clubsuit.$$ ¿Debería encontrar extraño que esto coincida con $\pi_1(g)?$ $$\pi_{r^3}(\diamondsuit)=\clubsuit,\quad\pi_{r^3}(\heartsuit)=\spadesuit,\quad\pi_{r^3}(\spadesuit)=\heartsuit,\quad\pi_{r^3}(\clubsuit)=\diamondsuit.$$
$$\pi_{r^3s}(\diamondsuit)=\spadesuit,\quad\pi_{r^3s}(\spadesuit)=\heartsuit,\quad\pi_{r^3s}(\heartsuit)=\clubsuit,\quad\pi_{r^3s}(\clubsuit)=\diamondsuit.$$ $$\pi_1(\diamondsuit)=\diamondsuit,\quad\pi_1(\clubsuit),\quad\pi_1(\heartsuit)=\heartsuit,\quad\pi_1(\spadesuit)=\spadesuit.$$
Así que ahora, por definición, tenemos que el estabilizador de $x$ es el conjunto de elementos de $G$ que mantienen $x$ fijada bajo la acción. A partir de los cálculos anteriores, vemos $$\text{Stab}(\diamondsuit)=\{1, r^2\}.$$ Igualmente, por definición, tenemos que la órbita de $x$ es el conjunto de posibles destinos $x$ va a debajo de la acción. De los cálculos anteriores, vemos $$\text{Orb}(\diamondsuit)=\{\heartsuit, \spadesuit, \diamondsuit, \clubsuit\}.$$
Creo que mi respuesta final es correcta; el teorema de la órbita-estabilizadora parece cumplirse aquí.
Así que, aunque supongo que la forma en que lo hice no fue un enfoque demasiado agotador; pero siento que mi enfoque es bastante ingenuo y que hay una forma más inteligente de hacer esto.
Estaría muy agradecido si me indicaran la dirección correcta para ser mejor en este tipo de preguntas en el futuro.
Gracias de antemano.
