Órbita/estabilizador de una acción

Question

Pregunta. Supongamos que $X=\{\heartsuit,\diamondsuit,\clubsuit,\spadesuit\}$ y $\pi$ es una acción de $\mathcal{D}_8=\{1,r,r^2,r^3,s,rs,r^2s,r^3s\}$ Satisfaciendo a $$\pi_r(\heartsuit)=\spadesuit,\quad\pi_r(\diamondsuit)=\clubsuit,\quad\pi_r(\spadesuit)=\heartsuit,\quad\pi_r(\clubsuit)=\diamondsuit,$$ $$\pi_s(\heartsuit)=\diamondsuit,\quad\pi_s(\diamondsuit)=\heartsuit,\quad\pi_s(\spadesuit)=\spadesuit,\quad\pi_s(\clubsuit)=\clubsuit.$$ Encuentre la órbita y el estabilizador de $\diamondsuit$ .

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Mi idea inicial era construir $\pi_g$ para todos $g\in\mathcal{D}_8$ por ejemplo $$\pi_{rs}(\heartsuit)=\pi_r\circ\pi_s(\heartsuit)=\pi_r(\diamondsuit)=\clubsuit,$$ $$\pi_{rs}(\spadesuit)=\pi_r\circ\pi_s(\spadesuit)=\pi_r(\spadesuit)=\heartsuit,$$ $$\pi_{rs}(\diamondsuit)=\pi_r\circ\pi_s(\diamondsuit)=\pi_r(\heartsuit)=\spadesuit,$$ $$\pi_{rs}(\clubsuit)=\diamondsuit.$$

Por cierto, continuar con esto da $$\pi_{r^2s}(\diamondsuit)=\heartsuit,\quad\pi_{r^2s}(\heartsuit)=\diamondsuit,\quad \pi_{r^2s}(\clubsuit)=\clubsuit,\quad\pi_{r^2s}(\spadesuit)=\spadesuit.$$ $$\pi_{r^2}(\diamondsuit)=\diamondsuit,\quad\pi_{r^2}(\heartsuit)=\heartsuit,\quad\pi_{r^2}(\spadesuit)=\spadesuit,\quad\pi_{r^2}(\clubsuit)=\clubsuit.$$ ¿Debería encontrar extraño que esto coincida con $\pi_1(g)?$ $$\pi_{r^3}(\diamondsuit)=\clubsuit,\quad\pi_{r^3}(\heartsuit)=\spadesuit,\quad\pi_{r^3}(\spadesuit)=\heartsuit,\quad\pi_{r^3}(\clubsuit)=\diamondsuit.$$

$$\pi_{r^3s}(\diamondsuit)=\spadesuit,\quad\pi_{r^3s}(\spadesuit)=\heartsuit,\quad\pi_{r^3s}(\heartsuit)=\clubsuit,\quad\pi_{r^3s}(\clubsuit)=\diamondsuit.$$ $$\pi_1(\diamondsuit)=\diamondsuit,\quad\pi_1(\clubsuit),\quad\pi_1(\heartsuit)=\heartsuit,\quad\pi_1(\spadesuit)=\spadesuit.$$

Así que ahora, por definición, tenemos que el estabilizador de $x$ es el conjunto de elementos de $G$ que mantienen $x$ fijada bajo la acción. A partir de los cálculos anteriores, vemos $$\text{Stab}(\diamondsuit)=\{1, r^2\}.$$ Igualmente, por definición, tenemos que la órbita de $x$ es el conjunto de posibles destinos $x$ va a debajo de la acción. De los cálculos anteriores, vemos $$\text{Orb}(\diamondsuit)=\{\heartsuit, \spadesuit, \diamondsuit, \clubsuit\}.$$

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Creo que mi respuesta final es correcta; el teorema de la órbita-estabilizadora parece cumplirse aquí.

Así que, aunque supongo que la forma en que lo hice no fue un enfoque demasiado agotador; pero siento que mi enfoque es bastante ingenuo y que hay una forma más inteligente de hacer esto.

Estaría muy agradecido si me indicaran la dirección correcta para ser mejor en este tipo de preguntas en el futuro.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una forma de pensar en esto es considerar que la acción tiene elementos de $D_8$ actuar $X$ como permutaciones y simplemente hacer su álgebra allí.

Básicamente, se puede ver en la definición de la acción que $r$ actúa como la permutación $(\heartsuit \spadesuit)(\diamondsuit \clubsuit)$ y $s$ actúa como $(\diamondsuit \heartsuit)$ . Puedes utilizar lo que sabes sobre grupos simétricos para calcular el estabilizador. Por ejemplo, porque $r$ actúa como productos de $2$ -ciclos, está claro que $r^2$ actúa de forma trivial. También está claro que $r^3$ no puede actuar de forma trivial.

Puedes averiguar la órbita de $\diamondsuit$ una vez que se tiene todo en notación de ciclo simplemente aplicando combinaciones de $(\heartsuit \spadesuit)(\diamondsuit \clubsuit)$ y $(\diamondsuit \heartsuit)$ a $\diamondsuit$ . No estoy seguro de cuánto más rápido será esto que lo que hiciste, pero es otra manera. Usar el Teorema del Estabilizador de la Órbita para calcular cuántas cosas debes esperar en la órbita fue lo correcto.

Creo que lo más importante que debes notar es que todo en la acción está determinado por la acción de $r$ y $s$ ya que el grupo es generado por ellos, así que normalmente no hay que computar todo para averiguar lo que está pasando, sólo hay que entender muy bien lo que está pasando con $r$ y $s$ .