Encontrar Geodesics en la Unidad de Cilindro

Question

Actualmente estoy trabajando a través de un problema de Andrew Pressley Elemental de la Geometría Diferencial.

Pregunta 9.2.1

Deje $p$, e $q$ dos puntos distintos en la unidad de cilindro. Mostrar que hay dos o infinitamente muchos geodesics cuyos puntos extremos son $p$$q$.

La primera parte de esta pregunta es bastante fácil. Supongamos $p$ $q$ se encuentran en la misma arco circular alrededor de la unidad de cilindro. Entonces hay exactamente dos geodesics unirse a $p$$q$.

Pero me parece que no puede averiguar cómo hay infinitamente muchos geodesics si $p$ $q$ no se encuentran en el mismo arco circular. El libro dice que hay infinitamente muchas hélices de unirse a los puntos. Que es bastante fácil de entender, pero para ser una geodésica no las hélices deben ser localmente longitud minimizar? ¿Cómo puede ser esto?

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

He encontrado otra solución con la geodésica ecuaciones.

$$ (G) = \left\{\begin{array}{c} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (Eu'+Fv') = \frac12(E_uu'^2+2F_uu'v' + G_uv'^2) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (Fu'+Gv') = \frac12(E_vu'^2+2F_vu'v' + G_vv'^2) \end{array}\right. $$

Así que primero tenemos que encontrar el coeficiente de la primera forma fundamental es bastante fácil de calcular con la parametrización dada por Jan Bohr en respuesta anterior: $\sigma(u,v) = (\cos u,\sin u, v)$,$E=G=1$, e $F=0$, por lo tanto de la línea geodésica ecuaciones de desaparecer. Podemos deducir que $u''$, e $v''$ son tanto idéntica a cero: $$ \sigma_{uu}\cdot\sigma_u = (-\cos u, -\sen u,0)\cdot(-\sen u,\cos u,0) = 0 $$ Y de la misma manera para $\sigma_{vv}\cdot\sigma_v$.

Luego tenemos a $u=a+bt$$v=c+dt$. Si $b=0$, a continuación, este sistema ofrece un arco circular alrededor del cilindro, de lo contrario se obtiene una circular de la hélice, y sin restricciones en $b$ hay infinitamente muchas soluciones al $b\neq 0$, y sólo dos al $b=0$ dependiendo de la orientación de $v$.

Answer 2

$f(\phi,h)=(\cos \phi,\sin\phi,h)$ define una isometría local de $\mathbb{R}^2$ sobre el incrustado de la unidad de cilindro en $\mathbb{R}^3$ y por lo tanto envía geodesics en $\mathbb{R}^2$(=líneas rectas) a geodesics en el cilindro. Suponga $p=f(\phi_p,h_p)$$q=f(\phi_q,h_q)$. Para cada una de las $k\in\mathbb{Z}$ la línea recta que conecta $(\phi_p,h_p)$ $(\phi_q + 2\pi k,h_q)$ obtiene asignada a una geodésica $\gamma_k$ unirse a $p$$q$. Si $h_p\neq h_q$, entonces todas las $\gamma_k$ son disjuntas.

Answer 3

Las hélices $$\gamma_a(t)=(\cos(t),\sin(t),t/a) $$ son todos geodesics, ya $\gamma_a''(t)=(-\cos(t),-\sin(t),0)$ es perpendicular al cilindro.

Ya que usted menciona que "el libro dice que hay infinitamente muchas hélices de unirse a los puntos. Que es bastante fácil de entender, pero para ser una geodésica no las hélices deben ser localmente longitud minimizando?", lo anterior debería ser suficiente para usted.

Si alguien viene aquí no entiendo por qué hay infinitamente muchas hélices de unirse a los puntos:

Dado $p,q$ no en el mismo arco circular, tenemos que $p_3 \neq q_3$. Desde rotaciones a lo largo del plano y traducciones a lo largo de la $z$-eje son isometrías, podemos asumir que $p=(1,0,0)$ (esto es solo para la simplificación, no es necesario en absoluto), y por lo tanto $q_3 \neq 0$.

Pick $T$ tal que $q=(\cos(T),\sin(T),q_3)$. El geodesics $\gamma_{(T+2k\pi)/q_3}$ ($k$ se ejecuta a través de los números enteros) que se conectan a $p$$q$. De hecho, $$\gamma_{(T+2k\pi)/q_3}(0)=(1,0,0)=p $$ y $$\gamma_{(T+2k\pi)/q_3}(T+2k\pi)=(\cos(T),\sin(T),q_3)=q.$$