Trabajar sin el axioma de elección (ZF o incluso ZF + DC), podemos demostrar la existencia de un ordenamiento de la línea real $\mathbb{R}$ suponiendo que es lineal en el orden de $\mathcal{P}(\mathbb{R})$? Sé que se puede construir una lineales de orden de $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ el uso de un bien de pedidos de $\mathbb{R}$. Pero no veo la manera de demostrar lo contrario si es posible del todo.
Respuesta
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No.
Es coherente que los reales no puede ser bien ordenado, pero cada conjunto linealmente ordenado. Por ejemplo, en la de Cohen primer modelo, donde el Booleano Primer Ideal teorema tiene, pero hay un Dedekind-conjunto finito.
Usted puede utilizar Pincus resultados acerca de "la Adición de DC" para obtener un modelo donde también DC tiene. Y probablemente hay otras más simples pruebas de esto con la DC.
