Deje $(D,\prec) $ ser un conjunto dirigido. Es cofinal en cadena"$D $? Por cadena me refiero a una $D'\subset D $ tal que para todos los $\lambda,\gamma \in D'$, $\lambda\prec \gamma $ o $\gamma\prec \lambda $. Por cofinal cadena me refiero a una cadena de $D'$ de las que, para cada $\gamma\in D $, hay algunos $\lambda \in D'$ tal que $\gamma\prec \lambda $.
Respuestas
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DanV
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Tome $X$ a ser su favorito de la multitud innumerable. Ahora tome $D$ a los subconjuntos finitos de $X$, ordenados por inclusión.
Fácilmente, este conjunto es dirigido. Pero no hay cadenas con la clase de orden más de $\omega$, y por tanto, ninguna cadena puede tener un incontable de la unión, y en particular, ninguna cadena es cofinal.
(Si usted elige $X$ sabiamente, entonces la elección no es necesaria. Y por sabiamente acabo de decir no es una contables de la unión finita de conjuntos.)
Tsu Jan
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41
Si estas cadenas existido siempre, dicen que en virtud de CA, dirigida conjuntos tendría ningún uso en ZFC ya que la mayoría de las construcciones que implican dirigida conjuntos se puede hacer uso de tales cofinal cadenas.
Pero no es el caso. Por ejemplo vamos a $\omega_1$ ser ordenada por la divisibilidad $|$ bajo Hessenberg producto. Para $\alpha,\beta\in \omega_1$, $\alpha,\beta | \alpha \otimes \beta\in \omega_1$ así que este conjunto ordenado es dirigida. La divisibilidad de la orden contenida en la orden estándar en $\omega_1$, por lo que cualquier cofinal de la cadena en $(\omega_1,|)$ debe tener cofinality $\omega_1$. En particular, para una cadena de existir, debe ser una contables ordinal $\alpha$ con infinidad de factores (tomar la $\omega$-ésimo elemento de la cadena). Esto no puede ser como $(\omega_1,\oplus,\otimes)$ está contenida en la UFD formado por tomar su anillo de Grothendieck.
No debería ser más simple y más visual contador de ejemplos...
