Deje $\Phi_n(x) \in \mathbb{Z}[x]$ el valor del $n$-th cyclotomic polinomio, y deje $\mathbb{F}_q$ ser el campo finito con $p^k = q$ elementos ($p$ prime). Deje $\Phi'_n(x)$ ser la reducción de la $\Phi_n(x)$ mod $p$ (es decir, $\Phi'_n(x)$ es la imagen de $\Phi_n(x)$$\mathbb{F}_q[x]$). Es cierto que $\Phi'_n(x)$ $n$- th cyclotomic polinomio en $\mathbb{F}_q$; es decir, son las raíces de $\Phi_n'(x)$ precisamente la primitiva $n$-th raíces de la unidad en la $\mathbb{F}_q$? Si es así, yo quiero probar este es el caso, pero no estoy seguro de cómo me gustaría ir sobre hacer esto.
Respuesta
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Usted necesita $\gcd(p,n)=1$ de lo contrario, no hay raíces de la unidad de la orden de $n$ en cualquier campo de $\Bbb{F}_q,q=p^n$. Básicamente esto es debido a que $1$ es la única raíz de $x^p-1=(x-1)^p$.
Pero, asumiendo $\gcd(n,p)=1$, la afirmación es verdadera. Si $\alpha\in\Bbb{F}_q$ es una raíz de la unidad de la orden de $n$ (lo que implica $n\mid q-1$), luego los poderes $\alpha^k$, $0<k<n,\gcd(k,n)=1$ son también de orden $n$. Por lo tanto, podemos deducir que no se $\phi(n)$ tales elementos en $\Bbb{F}_q$. Porque todos ellos tienen orden de $n$, son los ceros de $x^n-1$, pero no son los ceros de cualquier $x^d-1, d\mid n$.
En el ring $\Bbb{Q}[x]$ tenemos la factorización $$ x^n-1=\prod_{d\mediados n}\Phi_d(x), $$ y sabemos que $\gcd(\Phi_{d_1},\Phi_{d_2})=1$ siempre $d_1\neq d_2$. Debido a la reducción del modulo $p$ es un homomorphism del polinomio anillos obtenemos el factorización en $\Bbb{F}_p[x]$ $$ x^n-1=\prod_{d\mediados n}\Phi'_d(x).\qquad(*) $$ Como hemos asumido $\gcd(n,p)=1$ tenemos, por $f_n(x)=x^n-1$, $$\gcd(f(x),f'(x))= \gcd(x^n-1,nx^{n-1})=1,$$ so we know that the zeros of $x^(n-1)$ in any field of characteristic $p$ are also simple. Therefore we still have no common factors and $\gcd(\Phi_{d_1}'(x),\Phi_{d_2}'(x))=1$ whenever $d_1\neq d_2$.
Cualquier raíz de la unidad de $\alpha$ orden $n$ $\Bbb{F}_q$ es un cero a la izquierda lado de la $(*)$, por lo que también debe ser un cero de uno de los factores $\Phi_d'(x)$. Debido a $\Phi_d'(x)\mid x^d-1$ se sigue que $\alpha$ no puede ser cero de $\Phi_d'(x)$ para cualquier divisor $d\mid n$. Por lo tanto,$\Phi_n'(\alpha)=0$.
Debido a $\deg\Phi_n(x)=\phi(n)$ es igual al número de raíces de la unidad de la orden de $n$$\Bbb{F}_q$, podemos concluir que $$ \Phi_n'(x)=\prod_{\alpha\en\Bbb{F}_q\ \text{de orden $n$}}(x-\alpha). $$
Lo que cambia de característica cero configuración es que los polinomios $\Phi_n(x)$ generalmente no son irreducibles. Permanece irreductible después de la reducción modulo $p$ si y sólo si $p$ es un generador del grupo multiplicativo de los residuos clases de $\Bbb{Z}_n^*$.
