¿Es cierto que cualquier círculo en $\mathbb{R^2}$ contiene un punto con coordenadas racionales? ¿Y cualquier curva cerrada simple?
Si es así, ¿podría ayudarme con la prueba?
¿Cómo se puede probar eso? ¿Cómo puedo encontrar una biyección entre círculos disjuntos en $R^2$ y digamos, R o un conjunto con cardinalidad continua?
¡La biyección ya te la han dado! Cada $r \in (0,\infty)$ define un círculo distinto. Hay muchos puntos continuos en cualquier intervalo, incluyendo $(0,\infty)$ .
Para los círculos, no. Elige cualquier número $r$ con $r^2$ irracional. Entonces el círculo $$x^2+y^2=r^2$$ no tiene ninguna solución racional, o bien $r^2$ es racional.
Para curvas cerradas arbitrarias, existen aún más contraejemplos. Elija un rectángulo tal que para cada parte de línea recta, digamos una línea horizontal del rectángulo, la $y$ -es irracional, mientras que para la línea vertical, la $x$ -coordinada es irracional.
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Sí, $Q$ es denso un $R$
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@FedePoncio Esa la conozco. ¡También sé que Q^2 es denso en R^2, pero aún no sé por qué eso implica lo que pregunté!
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¿Exige que los círculos tengan un radio positivo?
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Para curvas cerradas arbitrarias, no. Se puede hacer fácilmente un marco rectangular tal que para cada parte de línea recta, digamos una línea horizontal, el $y$ -coordinada es irracional.
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@Fede Poncio: ¿podrías ampliar la respuesta a la pregunta? ¿Es fácil ver que $ (x-\pi)^2 + (y-\pi)^2= e$ contiene un punto racional?
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@CarlMummert ¿Qué tal curvas cerradas simples? (editado)
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@nra: el comentario de edm expresa mejor la idea
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@FedePoncio : pero $S^1$ no está abierto en $\Bbb R^2$ ...
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@nra Lo siento, cuando leí "contiene" me imaginé una bola abierta. Para los círculos se ha respondido más abajo. Perdón por la confusión.
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Prueba para la interpretación de @FedePoncio de "contiene": 1. El círculo tiene radio finito. 2. Puedes cortarlo con una línea horizontal y obtener 2 valores reales distintos de x. 3. Cada punto entre esos 2 números está dentro del círculo. 4. Existe un número racional entre esos 2 números (densidad de Q en R). 5. Haz un corte vertical por ese valor racional de x. 6. Que golpea el círculo en 2 puntos distintos. 7. Cada punto entre esos está también dentro del círculo. 8. Hay un número racional entre esos números (densidad de Q en R de nuevo). 9. Ahora tenemos un valor x racional y un valor y racional dentro del círculo. QED
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@dreeves pero esa coordenada y no será necesariamente racional
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@FedePoncio: El valor y del paso 2 puede no serlo pero luego en el paso 5 hacemos un corte vertical y encontramos un valor y racional.