Por Sean Roberson del comentario, la referencia a la "fantasía lineal-los métodos del álgebra" en las diapositivas es muy probable que una graciosa referencia a la eliminación Gaussiana.k.una. fila-reducción) o la regla de Cramer. Hay, sin embargo, otros de fantasía lineal álgebra de maneras de resolver este tipo de redes de problemas que probablemente no eran lo que el profesor tenía en mente.
Si vemos el resistiva como una red de dos dimensiones complejas, una distribución de corriente en los cables es una función de las ramas de los números reales, por lo que el uso de la lengua de la topología algebraica podemos identificar con el espacio de 1-cadenas de $C_1$. En forma similar, neto de los flujos de corriente en los nodos de 0 de las cadenas, las caídas de voltaje a través de sucursales son: 1-cochains, y los potenciales en los nodos 0-cochains. El límite operador $\partial:C_1\to C_0$ actúa como un bulto serpiente, que es, para cualquier distribución de la corriente $\mathbf I$, $\partial\mathbf I$ es la neta correspondiente flujo de corriente en los nodos. En este marco, Kirchhoff actual de la ley es, simplemente,$\partial\mathbf I=0$. El coboundary operador $\mathrm{d}:C^0\to C^1$ actúa como un bulto operador diferencia: dada una asignación de los potenciales a los nodos, se calcula la correspondiente caída de voltaje. En este marco, la forma más útil de Kirchhoff del voltaje de la ley es $\mathbf V=-\mathrm{d}\mathbf\Phi$, que básicamente dice que uno puede hacer una asignación consistente $\mathbf\Phi$ de los potenciales a los nodos, en el sentido de que si $\partial\alpha = B-A$,$V^\alpha=\Phi^A-\Phi^B$. Finalmente, la ley de Ohm se conecta $C_1$ y $C^1$: $\mathbf V=Z\mathbf I$. Podemos poner esto juntos en una ecuación que conecta los nodos potenciales de $\mathbf\Phi$ neto nodo corrientes $\mathbf K$: $$-\partial Z^{-1}\mathrm{d}\mathbf\Phi = \mathbf K.\tag{*}$$ The operator $-\parcial de Z^{-1}\mathrm{d}$ es el Laplaciano discreto de la red que usted podría estar familiarizado con la teoría de grafos.
Hay análogos de la malla actual y el nodo potencial de los métodos en este marco, pero el ejemplo de resistencia de la red es el mejor tratado como un problema de Dirichlet: estamos considerando los valores de $\mathbf\Phi$ en el límite de la red y requieren que el $\mathbf K=0$ en los nodos interiores. Específicamente, el etiquetado de los nodos de las agujas del reloj desde la parte superior, nuestras condiciones iniciales son $\Phi^A=V$, $\Phi^C=0$, $K_B=K_D=0$. El uso de las orientaciones en el diagrama y la expansión de la ecuación (*) en la forma de la matriz, tenemos $$\begin{bmatrix}-1&-1&0&0&0\\0&1&1&0&-1\\0&0&0&1&1\\1&0&-1&-1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac1{R_1}&0&0&0&0\\0&\frac1{R_2}&0&0&0\\0&0&\frac1{R_3}&0&0\\0&0&0&\frac1{R_4}&0\\0&0&0&0&\frac1{R_5}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1&0&0&1\\-1&1&0&0\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\0&-1&1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}V\\\Phi^B\\0\\\Phi^D\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I\\0\\-I\\0\end{bmatrix}.$$ This matrix product looks messy, but it's quite easy to compute piecemeal: the outer matrices produce simple sums of various elements of the vector, while the diagonal matrix in the middle scales each element. The net result is a system of four linear equations in three unknowns, but we can remove a redundant equation a priori by working with the reduced operators $[\partial]$ and $[\mathrm{d}]$: delete rows and columns that correspond to nodes at ground, in this case the third node $C$. You end up with the system $$\begin{align} -\frac 1{R_2}\Phi^B-\frac 1{R_1}\Phi^D + \frac V{R_1}+\frac V{R_2} &= I \\ \left(\frac1{R_2}+\frac1{R_3}+\frac1{R_5}\right)\Phi^B - \frac1{R_3}\Phi^D-\frac V{R_2} &= 0 \\
-\frac1{R_3}\Phi^B +\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_3}+\frac1{R_4}\right)\Phi^D-\frac V{R_1} &= 0
\end{align}$$ which I think looks a little less daunting than the one in the slides, especially if you replace resistance with conductance ($G_\alpha=\frac1{R_\alpha}$). Solving this system produces the same value for $I$ as was demonstrated in the slides, and if you want to recover the individual voltage drops or currents in the wires, they are $-\mathrm{d}\mathbf\Phi$ and $-Z^{-1}\mathrm{d}\mathbf\Phi$, respectivamente.
En general me gusta este método más que el ad-hoc que se muestra en las diapositivas porque de proceder bastante mecánicamente a partir de una descripción de la red-la $\partial$ $\mathrm d$ operadores junto con resistnces $Z$-a un conjunto relativamente pequeño de ecuaciones a resolver. Usted no tiene que recoger los bucles y la esperanza de que has seleccionado suficiente independientes. La maquinaria de este método, básicamente, hace que para usted automáticamente. Si usted permite que el complejo de valores, a continuación, puede acomodar a los inductores y condensadores en este marco, pero no está garantizada una solución como con la pura lineales de redes resistivas. Los no-solución de los casos corresponden, generalmente, a las resonancias.
