¿Es el conjunto de todos los números irracionales un anillo o un campo?

Question

Agradecería mucho una prueba de cualquiera de los dos. Creo que debería ser un campo ya que satisface las identidades multiplicativa y aditiva y es conmutativa.

Answer 1

Como señalan las otras respuestas, hay muchas razones por las que $\mathbb{I}\subseteq\mathbb{R}$ no es ni un campo ni un anillo. Sin embargo, podría ser útil considerar el anillo más pequeño $\mathcal{I}$ que $\mathbb{I}$ está contenida en. Nuestra estrategia consistirá en añadir elementos a $\mathbb{I}$ siempre que $\mathbb{I}$ no es un anillo, corrigiendo este fallo.

En primer lugar, es evidente que necesitamos $0,1\in\mathcal{I}$ para tener identidades en ambas operaciones. A continuación, debemos comprobar el cierre en $(\mathcal{I}, +)$ y $(\mathcal{I}, \cdot)$ .

Pregunta: ¿Es necesario que $\mathbb{Z}\subseteq\mathcal{I}$ ?

Sí. El usuario ml0105 señaló en su respuesta que $\langle 1\rangle = \mathbb{Z}$ . Desde $1\in\mathcal{I}$ Debemos tener $\mathbb{Z}\subseteq\mathcal{I}$ .

Pregunta: ¿Es necesario que $\mathbb{Q}\subseteq\mathcal{I}$ ?

Resulta que sí. Deja que $a,b\in\mathbb{Z}$ sean enteros coprimos, y consideremos el elemento $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ . Ahora, toma tu número irracional favorito $x\in\mathbb{I}$ y considerar los elementos $ax, \frac{1}{bx}\in\mathbb{I}$ . Queremos $(\mathcal{I},\cdot)$ para ser cerrado, y así $\left(ax\cdot\frac{1}{bx}\right) = \frac{ax}{bx} = \frac{a}{b}\in\mathcal{I}$ . Así, $\mathbb{Q}\subseteq\mathcal{I}$ .

Por lo tanto, tenemos

$$\mathbb{I}\subseteq\mathcal{I}; \quad \mathbb{Q}\subseteq\mathcal{I}. $$

Esto implica que $\mathbb{R}\subseteq\mathcal{I}$ y así $\mathcal{I} = \mathbb{R}$ . Por lo tanto, cualquier subring de $\mathbb{R}$ que contiene cada irracional debe ser $\mathbb{R}$ sí mismo.

Answer 2

No es un anillo ni un campo para la ley inducida por el real ya que no contiene elementos neutros para las sumas y multiplicaciones.

Answer 3

$\sqrt 2$ y $10-\sqrt 2$ son dos números irracionales cuya suma no es un número irracional. Entonces, con la suma habitual, no es un anillo ni un campo porque no es cerrado bajo adición. Tampoco contiene ninguna identidad aditiva.

Answer 4

Los irracionales no son cerrados bajo la adición o la multiplicación.

por ejemplo $$\sqrt 2 \sqrt 8 =4 $$

Por lo tanto, no forman un campo o un anillo.

Answer 5

Los contraejemplos son útiles para ilustrar los conceptos.

Considere $\pi$ . Obsérvese que la inversa multiplicativa de $\pi$ (bajo la operación inherente de multiplicación en $\mathbb{R}$ ) es $\frac{1}{\pi}$ . Ahora $\pi \cdot \frac{1}{\pi} = 1$ que está claramente en $\mathbb{Q}$ . Así que los irracionales ni siquiera son cerrados bajo la multiplicación, inherente a $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, no pueden formar un anillo.

Del mismo modo, utilizando la operación de suma estándar de $\mathbb{R}$ tenemos que $\pi + -\pi = 0$ . Así que los irracionales no forman un grupo aditivo.

Editar: Si se añade $0, 1$ en su conjunto, entonces $\langle 1 \rangle \cong \mathbb{Z}$ está contenida en su estructura. Por lo tanto, considere $\pi \cdot \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{2}$ que claramente no es un irracional o un entero.