Ejemplo de una región plana con límite suave cuyo dual polar también tiene un límite suave

Question

Busco un ejemplo concreto de subconjunto convexo compacto $K$ de $\mathbb{R}^2$ con $(0,0)$ centro de simetría, con un límite suave ( a $C^{\infty}$ $1$ submanifold dimensional de $\mathbb{R}^2$ ), tal que su dual polar $K^{\circ}$ también tiene un límite suave. Mejor aún si ambos tienen límites analíticos. Además, $K$ no debe ser una elipse.

Observaciones: $K^{\circ}$ el dual convexo se define por $$K^{\circ} = \{ v \in \mathbb{R}^2\ | \ \langle v,u\rangle \le 1 \text{ for all } u \in K \}$$ (si utilizamos $|\cdot |$ en la desigualdad obtenemos lo mismo).

Es fácil ver que $K^{\circ}$ es compacto, convexo y simétrico. Además, es un hecho (teorema de dualidad) que $K^{\circ \circ} = K$ .

Ejemplos: $K=\{(x,y)\ |\ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\le 1\}$ . Entonces $K^{\circ} = \{(x,y)\ |\ a^2 x^2 + b^2 y^2\le 1\}$ . En general, si $K=\{(x,y)\ |\ \frac{|x|^p}{a^p} + \frac{|y|^p}{b^p}\le 1\}$ entonces $K^{\circ} = \{(x,y)\ | \ a^q |x|^q + b^q |y|^q\le 1\}$ donde $q$ es el dual de Holder de $p$ .

En el ejemplo anterior con $p$ , $q$ vemos que no podemos hacer ambas cosas $K$ , $K^{\circ}$ con límite $C^{2}$ , a menos que $p=q=2$ .

Answer 1

Dada una norma $\|\cdot\|$ Consideremos la función $f(x) = \frac12 \|x\|^2$ . Si esta función es real-analítica fuera de $0$ entonces la bola unitaria de la norma tiene límite analítico, siendo un conjunto de nivel de $f$ (nota que $\nabla f$ se desvanece sólo en $0$ ).

El conjugado de Legendre-Fenchel de $f$ es $g(x) = \frac12\|x\|_*^2$ donde $\|\cdot \|_*$ es la norma dual. ( Referencia ). Por lo tanto, queremos $g$ para ser también real-analítica.

Una propiedad básica de las funciones convexas conjugadas es que $\nabla g$ es la inversa de $\nabla f$ . Además, la inversa de un mapa real-analítico con jacobiano distinto de cero es real-analítica.

Por lo tanto, lo que necesitamos es que $f$ para tener un jacobiano distinto de cero, lo que equivale a $\|x\|^2$ que tiene una matriz hessiana no singular. (Esta es la propiedad que falla para normas como $(x_1^4+x_2^4)^{1/4}$ .)

Hay una manera fácil de "arreglar" cualquier liso $f$ como en el caso anterior: basta con añadirle algún múltiplo de la norma euclidiana al cuadrado. Esto añadirá una constante positiva a todos los valores propios del hessiano, convirtiéndolo en definido positivo.

Por ejemplo, $$ \|x\| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\sqrt{x_1^4+x_2^4}} $$ es una norma tal que tanto la bola unitaria $\{x:\|x\|\le 1\}$ y su polar $\{x:\|x\|_*\le 1\}$ tienen un límite real-analítico.

Answer 2

Existe una familia de ejemplos de la forma $xf(x)+y\,g(y)=1$ , donde $f,g,f^{-1}$ y $g^{-1}$ son analíticos. Si $u=f(x)$ y $v=g(y)$ entonces la ecuación anterior se convierte en $xu+yv=1$ A su vez $uf^{-1}(u)+v\,g^{-1}(v)=1$ , que representa la curva dual.

Considere la curva $x\sinh(x) + y \sinh(y) = 1$ . Si dejamos que $u=\sinh(x)$ y $v=\sinh(y)$ entonces $x u + y v = 1$ (coincidiendo con la definición de la curva dual), y por lo tanto, utilizando que $x=\sinh^{-1}(u)=\ln(u+\sqrt{u^2+1})$ y $y=\sinh^{-1}(v)=\ln(v+\sqrt{v^2+1})$ obtenemos la ecuación de la curva dual $u \sinh^{-1}(u) + v \sinh^{-1}(v)=1$ .

La primera curva $x\sinh(x) + y \sinh(y) = 1$

La segunda curva $u \sinh^{-1}(u) + v \sinh^{-1}(v)=1$ (el dual del primero)

Ambas curvas juntas:

Editar. Lo anterior es un ejemplo de la forma $x f(x) + y f(y)=1$ con doble curva $u f^{-1}(u) + v f^{-1}(v)=1$ . El círculo es un caso especial de esta familia de ejemplos, cuando $f(x)=x=f^{-1}(x)$ pero una elipse no lo es. Una familia de ejemplos más general es $x f(x) + y\, g(y)=1$ con doble curva $u f^{-1}(u) + v\, g^{-1}(v)=1$ . Una elipse es un caso especial de esta última familia con $f(x)=\frac x{a^2},f^{-1}(x)=a^2x,g(x)=\frac x{b^2},g^{-1}(x)=b^2x$ .

Como ejemplo de esta última familia que no es una elipse se puede tomar $f(x)=\tan^{-1}(x), f^{-1}(x)=\tan(x),g(x)=\sinh(x), g^{-1}(x)=\sinh^{-1}(x)$ . Es decir, la curva $x \tan^{-1}(x) + y \sinh(y) = 1$ con doble curva $u \tan(u) + v \sinh^{-1}(v)=1$ que se muestra a continuación.

Editar. Algunos ejemplos más que muestran cómo una curva y su dual pueden relacionarse, en una imagen.

$x\sin(x)+y\arcsin(y)=1$ con doble $u\arcsin(u)+v\sin(v)=1$ que se muestra a continuación

$x^2+y\tan(y)=1$ con doble $u^2+v\arctan(v)=1$ que se muestra a continuación

$x^2+y(e^y-1)=1$ con doble $u^2+v\ln(1+v)=1$ que se muestra a continuación