Funcional: $$J[x]= \int_0^T \left( \frac{m}{2} \dot x^2 - \frac{k}{2}x^2 \right) dt$$ donde $ \dot x = \frac {dx}{dt}$. La ecuación de Euler-Lagrange coincide con la ecuación de Newton: $$m \ddot x = -kx, \\ m,k>0.$$ Determinar la extremals que pertenecen al conjunto: $$S=\{x \in C^1([0,T]): x(0)=x_0,x(T)=x_T\}$$ El extremals me obtenidos son de la forma: $$x(t)=A\cos\left(\sqrt\frac{k}{m}t\right)+B\sin\left(\sqrt\frac{k}{m}t\right), A,B \in \mathbb{R}.\\$$ Usando las condiciones en el conjunto: $$A=x_0. \\$$ Si $T=\sqrt\frac{m}{k}n\pi, n\in \mathbb{N_0}=\{0,1,2,...\}$, entonces: $$x(t)=x_0\cos\left(\sqrt\frac{k}{m}t\right)+B\sin\left(\sqrt\frac{k}{m}t\right), B \in \mathbb{R}.\\$$ En este caso, hay infinidad de extremals en $S.$ $$\\$$ Ahora supongo que $T\neq \sqrt\frac{m}{k}n\pi, n\in \mathbb{N_0}=\{0,1,2,...\}$. El extremals son: $$x(t)=x_0\cos\left(\sqrt\frac{k}{m}t\right)+\left[x_T\csc\left(\sqrt\frac{k}{m}T\right)-x_0\cot\left(\sqrt\frac{k}{m}T\right)\right]\sin\left(\sqrt\frac{k}{m}t\right)\\$$ donde $\csc(y)=\frac{1}{\sin(y)}$ $\cot(y)=\frac{\cos(y)}{\sin(y)}.$ $$\\$$ Tengo una nota en este ejercicio: "Dependiendo $T$ $x_T-x_0$ hay $0$ o $1$ o $\infty$ extremals." No entiendo cómo hay un caso donde no hay extremals. Debe ser relacionado con el $x_T-x_0$. La única cosa que puedo pensar es en si la función es continua en el intervalo o no, pero creo que es, no importa lo que son los valores de $x_0, x_T$.
Respuesta
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La solución de Euler-Lagrange ecuación, con $x(0) = x_0$, es que como lo encontró $$x(t) = x_0\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$$ donde $\omega = \sqrt{\frac km}$. Su solución es correcta, excepto por la forma en que maneja el caso de $T = \frac{n\pi}{\omega}$.
Si $T = \frac{\pi n}{\omega}$ para algunos entero$n$, luego tenemos a $x(T) = (-1)^nx_0$ no importa lo $B$ si $x_0 \not = (-1)^nx_T$, entonces es imposible tener $x(T) = x_T$ y no hay extremals de $J$$S$. Por otro lado, si $x_T = (-1)^nx_0$, entonces hay infintely muchos extremals en $S$ (uno por cada opción de la conexión constante $B$ que no está determinado por la condición de $x(T) = x_T$).
El último caso es si $T$ no está en el formulario de arriba y, a continuación, el cálculo correctamente, muestra que las condiciones de $x(T) = x_T$ únicamente corrige el valor de $B$ y no es exactamente un extremal en $S$.
