Subgrupo $H$ $\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$ $H$ donde son elementos son matrices con entradas sólo positivas

Question

Supongamos $H$ es un subgrupo de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{R})$ con la propiedad de que cualquier elemento de a $h$ $H$ es representado como una matriz no negativa entradas.

Dos ejemplos de $H$ me puede pensar en incluir el grupo de la diagonal de las matrices positivas entires y el grupo de permutación de matrices. Deje $K$ ser el grupo generado por estos dos grupos.

Debido a que la fórmula para la inversa de una matriz 2x2 está disponible, como la inversa de cualquier elemento de $H$ debe $H$, que puede mostrar que cualquier $H$ debe ser un subgrupo de $K$ en este caso.

Mi pregunta es si para $n \geq 3$ que $K$ contiene $H$.

Answer 1

Pensar geométricamente . . .

Deje $H$ ser un grupo.

Cualquier matriz $A\in H$ debe asignar el conjunto de la unidad de vectores de la base en la no negativo orthant, pero por otra parte, la imagen de la no negativo orthant debe ser no negativo de la orthant, else $A^{-1}$ no tomar el conjunto de vectores de la base en la no negativo orthant.

De ello se desprende que $A$ se asigna a cada unidad estándar base de vectores a un escalar positivo múltiples de alguna norma de la unidad de base de vectores. Por lo tanto, hasta un positivo factor de escala, $A$ permutes el estándar de la unidad de vectores de la base.

Por lo tanto, cada una de las $A\in H$ tiene exactamente un positivo de cada fila, y exactamente uno de los efectos positivos de la entrada en cada columna, con todas las otras entradas iguales a cero.

De ello se desprende que $H$ es un subgrupo del grupo de $K$.

Answer 2

Proffering el siguiente argumento para una respuesta afirmativa.

Deje $G$ ser un grupo. Suponga que $A=(a_{ij})\in G$ tiene dos o más distinto de cero entradas en algunos de fila, decir, tanto en $a_{ij}$ $a_{ik}$ son positivos. Deje $B=(b_{ij})\in G$ ser cualquier matriz. Debido a $B$ es invertible, existe una $\ell$ tal que $b_{\ell i}>0$. Esto implica que en el producto $BA$ las entradas de $(\ell,j)$ $(\ell,k)$ son positivos.

Pero esto significa que $BA$ no puede ser la matriz identidad contradiciendo el hecho de que $A^{-1}\in G$.

Un análogo argumento demuestra que no hay una columna de un elemento de $G$ puede contener dos o más distinto de cero entradas. Por lo tanto, todos los matricess de $G$ son monomio, y hemos terminado.