$A:=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no es un UFD, porque por ejemplo $$21 = 3 \cdot 7 = \left( 1+2\sqrt{-5}\right) \cdot \left(1-2\sqrt{-5}\right).$$ Pero desde $A$ es un dominio de Dedekind, debemos tener una única factorización de ideales en primer ideales (esto es, después de todo, el punto de la introducción de los dominios de Dedekind). Pero no es el caso que los ideales $(3)$,$(7)$,$\left( 1+2\sqrt{-5}\right)$,$\left( 1-2\sqrt{-5}\right)$ son todos diferentes, el primer ideales y que $$(21) = (3) \cdot (7) = \left( 1+2\sqrt{-5}\right) \cdot \left(1-2\sqrt{-5}\right)?$$ Lo que me estoy perdiendo?
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MrTuttle
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$3, 7, 1 + 2\sqrt{-5}$, e $1 - 2\sqrt{-5}$ son elementos irreductibles de $A$, pero no elementos principales. Por lo que las principales ideales generados por estos no son el primer ideales. El primer ideales dividiendo los principales ideales que no son principales, que son generadas por dos de estos elementos irreductibles. Tenemos
$$(21) = (3, 1 + 2\sqrt{-5})\cdot (3, 1 - 2\sqrt{-5})\cdot (7, 1 + 2\sqrt{-5})\cdot (7, 1 - 2\sqrt{-5})\,.$$
Parece que sabe lo principal son los ideales, pero vamos a revisar eso de todos modos. Dado un número $n$ en un anillo de $R$, el director ideal $\langle n \rangle$ consiste de todos los números de la forma$mn$, $m \in R$ también. En otras palabras, el ideal de $\langle n \rangle$ es simplemente el conjunto de todos los múltiplos del número de $n$ en el ring $R$.
Usted pudo haber leído en los libros y en este sitio que los ideales son "combinaciones lineales", pero nadie se explica lo que es el infierno que significa. Un ideal, no necesariamente director, $\langle n, u \rangle$ consiste de todos los números de la forma $mn + uv$. De curso $u$ $v$ son también números en el correspondiente anillo de $R$.
Vamos a volver a la buena de edad $\mathbb Z$ por un momento. Considere la posibilidad de $\langle 4 \rangle$. Eso es sólo todos los múltiplos de 4, el doble de los números pares. Ahora considere el $\langle 4, 14 \rangle$. Que todos los números de la forma $4m + 14v$. Claramente $\langle 4 \rangle \subset \langle 4, 14 \rangle$$\langle 14 \rangle \subset \langle 4, 14 \rangle$.
Por lo $\langle 4, 14 \rangle$ contiene todos los múltiplos de 4 y también todos los múltiplos de 14. Pero también contiene números que son la suma de un doble número par y múltiplo de 14 de números como 18, 22, 26, 30, 34, 38, o $-458, - 454, -450$, etc.
En efecto, como resulta, $\langle 4, 14 \rangle$ contiene el doble de los números pares y sueltos los números pares. Lo que es más, $\langle 4, 14 \rangle = \langle 2 \rangle$. Como ustedes saben, $\mathbb Z$ es un director ideal de dominio. Todos los ideales de un director ideal de dominio, independientemente de la forma en que se presentan, son los principales ideales.
Gran cosa, a quién le importa. Volvamos a $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. Como ya has descubierto, $$21 = 3 \times 7 = (1 - 2 \sqrt{-5})(1 + 2 \sqrt{-5}).$$ It gets even "worse" than that: $$(4 - \sqrt{-5})(4 + \sqrt{-5}) = 21$$ también.
Claramente lo puramente real de los números 3 y 7 son irreductibles, pero no la primera, y lo mismo va para los números complejos mencionado hasta ahora.
Así que si $p$ es una extraña prime en $\mathbb Z$, pero no en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$, ¿cómo se puede factorizar el ideal $\langle p \rangle$? Una forma, tomado de la ya clásica Alaca y Williams texto, es $$\langle p \rangle = \langle p, x - \sqrt{-5} \rangle \langle p, x + \sqrt{-5} \rangle,$$ where $x \in \mathbb Z^+$ is the smallest solution to $x^2 \equiv -5 \pmod p$.
Por lo tanto, $$\langle 3 \rangle = \langle 3, 1 - \sqrt{-5} \rangle \langle 3, 1 + \sqrt{-5} \rangle$$ and $$\langle 7 \rangle = \langle 7, 3 - \sqrt{-5} \rangle \langle 7, 3 + \sqrt{-5} \rangle.$$ Then the factorization of $\langle 21 \rangle$, in what I consider to be its canonical form, is $$\langle 3, 1 - \sqrt{-5} \rangle \langle 3, 1 + \sqrt{-5} \rangle \langle 7, 3 - \sqrt{-5} \rangle \langle 7, 3 + \sqrt{-5} \rangle.$$
Mezclando y emparejando los generadores de estos ideales, podemos obtener diferentes factorizations de 21, como un número. Por ejemplo, dado que el $-7 + 2 \sqrt{-5} \in \langle 3, 1 - \sqrt{-5} \rangle$ $11 - 6 \sqrt{-5} \in \langle 7, 3 + \sqrt{-5} \rangle$ (suponiendo que no he cometido errores con cualquiera de los signos), tenemos $$4 + \sqrt{-5} \in (\langle 3, 1 - \sqrt{-5} \rangle \langle 7, 3 + \sqrt{-5} \rangle).$$
Dejo un ejercicio opcional para averiguar cuál de los ideales de la $1 + 2 \sqrt{-5}$ viene y cómo.
