Decir que medir el ángulo de incidencia a la se $10^\circ$, ¿cuál es la unidad para $\sin(10^\circ)$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
The Bee's Knees
Puntos
9
La respuesta ya ha sido dada: Debido a que la función seno se define como la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa, su dimensión es $\frac{\mathrm{length}}{\mathrm{length}} = 1$ (es decir, que es adimensional).
Como fue señalado por nluigi en los comentarios, la expansión de Taylor $$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $$ (para $x$ dado en radianes) muestra que $x$ $\sin(x)$ ambos tienen que ser adimensional, ya que todos los términos deben tener la misma dimensión. De hecho, el ángulo de $x$ se define como la relación entre el radio de un arco circular con ángulo de $x$ y su arclength. En este espíritu, $^\circ$ no es un equipo real, sino sólo una forma abreviada conveniente para el numérico de la constante de $\frac{2\pi}{360}$, e $\mathrm{rad}$ es simplemente un alias para la constante de $1$.
user550362
Puntos
1
el seno es definitivamente adimensional para un ángulo dado (no importa en qué unidades se utilizan para expresar), se obtiene el mismo seno. El seno de un ángulo recto es siempre 1, por ejemplo.
Interesante pregunta acerca de si un ángulo tiene dimensión. Definitivamente tiene unidades: un ángulo de 1 grado no es nada parecido a un ángulo de 1 radian; pero eso no significa que no tenga dimensión?
@Federico Poloni - velocidad definitivamente no tienen dimensión: longitud/tiempo. Sólo porque usted tiene que dividir x por y, no hacer algo adimensional - usted debe tener en mente las unidades de x y de y, y si son diferentes, no se obtiene un valor adimensional.
Luca Citi
Puntos
58
Ya hay buenas respuestas, pero me gustaría añadir una nota sobre la serie de Taylor en el caso de las dimensiones de argumentos, una pregunta que se ha planteado un par de veces en los comentarios de esta página.
Un desarrollo en serie de Taylor puede ser usado para expandir una función cuyo valor es dimensional y/o cuyo argumento es dimensional. Es fácil ver cómo al darse cuenta de que cada término de la serie de Taylor de $f(x)$ alrededor de la expansión de punto de $x_0$ tiene la forma:
$$ \frac{1}{n!} \a la izquierda. \frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n} \right|_{x_0} (x - x_0)^n. $$
Desde la dimensión de la $\left.\mathrm{d}x^n\right|_{x_0}$ e de $(x - x_0)^n$ son los mismos, todos los términos tienen la dimensión de $\mathrm{d}^n f$, que es el mismo que el de $f$. En otras palabras, todas las dimensiones ordenar, bien por sí mismos. Véanse también las respuestas a esta pregunta.
En el caso de la función "$\sin$", como ya se ha dicho por otros, tanto el argumento y el valor adimensional por la definición misma de $\sin$. Sin embargo, podría preguntarme ¿qué pasa si todavía quiero a considerar explícitamente las unidades. Me podría definir $\sin$ como una función de radianes a la relación de longitudes: $[\mathrm{rad}] \rightarrow [\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}]$ (sé que es redundante, pero vamos a continuar de todos modos). Si lo hago, no puedo simplemente usar la convencional de la expansión de Taylor para $\sin$ pero tengo que usar uno donde el valor de $f$, y la de sus derivados se calcula utilizando las mismas unidades: $$ \sin(x) = 0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}} + 1\,\frac{1\,\mathrm{m}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{rad}} \, (x-0\,\mathrm{rad}) + \frac12\, \frac{0\,\mathrm{m}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{rad}^2} \, (x-0\,\mathrm{rad})^2 + \dots \quad \text{con $x$$[\mathrm{rad}]$}. $$ Esto también funciona muy bien si se utiliza en grados en lugar de radianes: los derivados no son 1, 0, -1, sino que son potencias de $\pi/180^{\circ}$ e las $^{\circ}$ "unidad" en estos coeficientes se cancela con la de los poderes de la $x$.
Por supuesto que no estoy abogando por el uso de este innecesariamente demasiado complicado representación, pero yo sólo quería mostrar que todo saldría muy bien de todos modos.
