¿Por qué es la integral definida como el límite de la suma de $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$?

Question

Yo no estoy logrando entender por qué la integral se define como:

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$$

en lugar de:

$$\int_a^b f(x)dx=\sum_{i=1}^\infty f(x_i^*)\Delta x$$

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Es el ex popular preferencia o es que hay algo que no soy conceptualmente la comprensión de aquí?

Answer 1

Vamos a cortar $[a, b]$ en infinidad igualmente espaciados rodajas. Por lo $x_1 = a$, obviamente. Lo $x_2$? Lo $\Delta x$, si no es cero?

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En general, no hay una "buena" manera de cortar un intervalo finito en un número infinito de intervalos de muestreo. En última instancia, la integral de Riemann muestras de un montón de valores de la función en una manera bastante uniforme (lo que significa que uno de cada intervalo de longitud de $\Delta x$) y un promedio de ellos. No tiene sentido hacer un infinito muestreo uniforme de un intervalo acotado.

Answer 2

Una respuesta corta es que $x_i^\ast$ $\Delta x$ dependen de la $n$, por lo que la expresión $$\sum_{i=1}^\infty f(x_i^\ast)\Delta x$$ no hace sentido.

Answer 3

En realidad, la definición es la siguiente:

Deje $\mathcal{P}=\{a, x_1, \ldots, x_k, b\}$ ser una partición de $[a, b]$ y denotan $\Delta \mathcal{P} = \max_i |x_i-x_{i+1}|$. Entonces decimos que una limitada función de $f$ es Riemann integrable para $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ que si $\Delta \mathcal{P}<\delta$ implica \begin{align} \left|\sum_{\mathcal{P}} \left\{M_i-m_i \right\}(x_{i+1}-x_i)\right|<\varepsilon \end{align} donde \begin{align} M_i:=\sup_{t \in[x_i, x_{i+1}]}f(t) \ \ \text{ and } \ \ m_i:=\inf_{t \in[x_i, x_{i+1}]}f(t). \end{align}

La partición es finito, así como la suma parcial es finito).

Una vez que usted sabe que $f$ es Riemann integrable, entonces usted puede definir la integral de $f$ \begin{align} \int^b_a f(t)\ dt:= \lim_{\Delta\mathcal{P}\rightarrow 0}\sum_{\mathcal{P}} M_i (x_{i+1}-x_i). \end{align}

Una vez que sepas $f$ es Riemann integrable, entonces usted puede especializarse en una secuencia anidada de partición $\mathcal{P}_n \subset \mathcal{P}_{n+1}$$\Delta \mathcal{P}_n \geq \Delta \mathcal{P}_{n+1}\rightarrow 0$, de modo que \begin{align} \int^b_a f(t)\ dt = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum^n_{i=1} f(x^\ast_i)\Delta x_i \end{align} es realmente significativo.

Answer 4

La cosa buena acerca de los límites es que pueden ofrecer una rigurosa respuesta en casos donde de otra manera de obtener una respuesta sin sentido.

Considere la siguiente función. $$f(x)=\cases{5 &x $\neq$ 3\\ \text{undefined}&x = 3}$$ Que es el mismo que $$f(x)=\frac{5x-15}{x-3}$$ Basado en los alrededores de la función de un sensical valor para llenar la brecha en $x=3$ 5. Los límites son una manera de encontrar estos sensical valores (por sensical me refiero a los que encajan muy bien con su entorno). En este caso es bastante obvio: $$\lim_{x\rightarrow3}f(x)=5$$ Pero lo que es especial acerca de los límites es que en realidad no se necesita saber el valor en el punto de evaluación $x=3$, el valor que está dado por el límite es determinado exclusivamente por la forma de la función se comporta alrededor de ese punto. Si se definen $f(3)=\pi^2$ o $f(3)=100$, en lugar del límite permanecerá sin cambios.

Entonces, ¿cómo este se conecte a tu pregunta? Su última suma en realidad no tienen sentido en sí misma: $$\sum_{i=1}^\infty f(x_i^*)\Delta x$$ Usted está explícitamente la adición de cero una cantidad infinita de veces. Qué valor es $x_3^*$? No lo sabemos. El límite está definido, aunque. A grandes rasgos es decir que al aumentar el $n$ el valor de la suma se acerca más y más a un determinado valor. La integral se define de* a ser este valor aunque usted nunca tendrá que evaluar $n=\infty$.

*La integral es ony definido si cada posible limitar da la misma respuesta, de lo contrario, la integral es indefinido.

Answer 5

Otro de los puntos anteriormente no se había hecho: el Uso de una infinita suma en realidad no cambia nada, porque una infinita suma se define como un límite finito de sumas.