Expresión del grupo unitario , los subgrupos discretos y los invariantes

Question

Dejemos que $$G=U(3),$$ sea el grupo unitario. Aquí consideramos $G$ en términos de la representación fundamental de U(3). En concreto, todos los $g \in G$ pueden escribirse como matrices de rango 3 (3 por 3).

1. ¿Cuál es la forma conveniente de parametrizar la matriz de rango 3 en términos de 9 grados de libertad (para 9 generadores)?

2. ¿Podemos encontrar algún subgrupo del grupo de Lie, $$k \in K \subset G= U(3) $$ tal que

   $$ k^T \{R_1, R_2\} k =\{R_1, R_2\} . $$ Esto significa que el conjunto $\{R_1, R_2\}$ es invariante bajo la transformación por $k$ . Es decir, ambos casos están permitidos: $$ k^T R_1 k =R_1,\;\;\; k^T R_2 k =R_2 . $$ $$ k^T R_1 k =R_2,\;\;\; k^T R_1 k =R_2 . $$

Aquí $k^T$ es la transposición de $k$ . ¿Cuál es el subconjunto (o subgrupo) completo de $K$ ?

Aquí lo definimos: $$ R_1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right),\;\;\;\; R_2 =-R_1= -\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right).$$

Esto significa que $k^T R_a k=R_b$ que puede transformar $a$ a un valor diferente $b$ , donde $a,b \in \{1,2 \}$ . Pero en general el conjunto completo $ \{R_1, R_2\}$ es invariante bajo la transformación por $k$ .

Debe haber un elemento trivial $k=$ la matriz de identidad de rango 3. ¿Pero qué más puede permitir? En particular, puedo ver una SU(2) y una $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ estructura en $K$ .

¿Cómo podríamos determinar el $K$ ?

Edición: Más aclaraciones. Simplificado el problema.

Answer 1

Pregunta. Dejemos que $R_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Encuentra el subgrupo $K$ de $U(3)$ , donde $$ K=\{k\in U(3)\mid k^TR_1k=R_1\text{ or }-R_1\} $$

Respuesta. Denota por $SU(2)\rtimes\mathbb{Z}_2$ el grupo de $2\times2$ matrices unitarias con determinante $\pm1$ . Entonces $$ \begin{align*} K &= \Bigl\{ \begin{pmatrix} \alpha & \mp\bar\beta & 0 \\ \beta & \pm\bar\alpha & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \in U(3) \mid \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C},\,|\alpha|^2+|\beta|^2=|\gamma|=1 \Bigr\} \\ &\cong (SU(2)\rtimes\mathbb{Z}_2)\times U(1) \end{align*} $$

Solución. Busquemos $k=(k_{ij})$ tal que $k^TR_1k=R_1$ o $-R_1$ . Implica las tres ecuaciones siguientes $$ k_{11}k_{23} = k_{13}k_{21}, \quad k_{12}k_{23} = k_{13}k_{22}, \quad k_{11}k_{22} - k_{12}k_{21} = \pm1 \tag{*} $$

Reclamación 1. $k_{13}=0$ y $k_{23}=0$ .

Prueba. Si $k_{13}\neq 0$ entonces por la eliminación gaussiana $$ k=\begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21}-k_{11}(\frac{k_{23}}{k_{13}}) & k_{22}-k_{12}(\frac{k_{23}}{k_{13}}) & k_{23}-k_{13}(\frac{k_{23}}{k_{13}}) \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ 0 & 0 & 0 \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{pmatrix} $$ $k$ es singular lo que contradice a $k\in U(3)$ . Del mismo modo, podemos demostrar que $k_{23}=0$ también.

Ahora las tres ecuaciones de (*) se reducen a una sola ecuación $$ k_{11}k_{22} - k_{12}k_{21} = \begin{cases} +1 & \text{if $k^TR_1k=R_1$} \\ -1 & \text{if $k^TR_1k=-R_1$} \end{cases} \tag{**} $$

Reclamación 2. $k_{31}=k_{32}=0$ .

Prueba. Desde $k\in U(3)$ , $$ k^\dagger k=\begin{pmatrix} * & * & \bar k_{31} \\ * & * & \bar k_{32} \\ 0 & 0 & \bar k_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} * & * & 0 \\ * & * & 0 \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ k_{31}\bar k_{33} & k_{32}\bar k_{33} & k_{33}\bar k_{33} \end{pmatrix} = I $$ donde $k^\dagger$ denota la transposición conjugada de $k$ . Desde $k_{33}\bar k_{33}=|k_{33}|^2=1$ tenemos $\bar k_{33}\neq0$ para que $k_{31}=k_{32}=0$ .

Ahora tenemos $k=\begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & 0 \\ k_{21} & k_{22} & 0 \\ 0 & 0 & k_{33} \end{pmatrix}\in U(2)\times U(1)$ donde $|k_{33}|=1$ y la ecuación (**) implica que el determinante de la sub-matriz $\begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} \\ k_{21} & k_{22} \end{pmatrix}\in U(2)$ est $\pm1$ .

Por el contrario, es fácil comprobar esta forma de $k$ satisface $k^TR_1k=R_1$ o $-R_1$ .

Nota. Para la primera pregunta, no conozco ninguna forma conveniente de parametrizar $U(3)$ .