¿Qué grupos finitos tienen siempre una raíz cuadrada para cada elemento?

Question

Si $G$ es un grupo cíclico impar de orden $n$ , entonces cada elemento $g$ de $G$ tiene otro elemento $h$ tal que $h^2=g$ . Esto se debe a que $2 x = y \mod n$ tiene solución para $x$ . (Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que resolver $x^2=y \mod n$ .)

¿Qué otros grupos finitos tienen esta propiedad?

Answer 1

Si $G$ es un grupo finito de orden par, entonces tiene un elemento de orden $2$ , $a$ decir. Entonces $a^2=e=e^2$ y el mapa de cuadratura no es inyectivo. Por finitud, el mapa de cuadratura no es suryectivo: hay elementos en $G$ que no son cuadrados.

Si $G$ tiene orden impar, entonces para cada $b\in G$ , $b^{(|G|+1)/2}$ es una raíz cuadrada de $b$ .