Por consiguiente, el modelo de integración de los países del Este en una Europa uniforme y su puesta a nivel a base de subvenciones, como mantiene la Agenda 2000, topa con la limitación de nuestros re

Question

Como saber cuando mueves a "grandes" sistemas de numeración (como complejo de cuaterniones) pierde algunas propiedades (por ejemplo pasar de complejo a quaternions requiere pérdida de commutativity), pero sostener cuando se mueve por ejemplo de productos naturales a enteros o reales complejo y propiedades ¿qué perder?

Answer 1

Los más importantes como lo veo:

• Productos naturales a enteros: perder el pozo-orderedness, ganancia "Grupo abeliano" (y, de hecho, "anillo").
• Enteros a los racionales: perder discreto, aumento de "campo".
• Racionales a los reales: perder countability, ganar "Cauchy-completo".
• Reales a los complejos: perder un orden total compatible, obtener el teorema Fundamental del álgebra.

Answer 2

La propiedad más importante que usted suelta al pasar de reales a los números complejos es sin duda la noción de un orden, es decir, $\mathbb{R}$ es un orden de campo, mientras que $\mathbb{C}$ no lo es. Esto se deduce de la siguiente proposición (Álgebra Abstracta por P. A. Grillet):

Un campo de $F$ puede ser ordenado si y sólo si $-1$ no es una suma de los cuadrados de los elementos de $F$.

Por otra parte, tenemos que tener cuidado en la definición de ciertas funciones debido al hecho de que ahora incluso funciones estándar llegar a ser de varios valores en lugar de un solo valor. Sin embargo, este es devuelto inmediatamente por el agradable la diferenciabilidad de las propiedades de los complejos de funciones diferenciables.

Answer 3

Perder el orden es el más importante pero también perdemos eso si $b > 1$ $b^z$ es inyectiva así $\ln z$ (o $\log_b z$) ya no es una función sino una clase de equivalencia.

Answer 4

La comparación de los naturales a los enteros, no hay la menor natural (0 o 1), que a menudo hace que la resolución de problemas más fácil.

Comparando reales o complejas, siempre se puede comparar reales pero no hay ninguna completar el pedido de los números complejos.

Answer 5

La cosa más grande que pierde al pasar de los reales a los números complejos es el orden. Usted puede encontrar algunos de los pedidos en los números complejos, pero el orden no tiene nada que ver con la estructura algebraica.

En los números reales, si $a < b$, e $c$ es positivo,$ac < bc$. Y para cualquier número a todos los que nos han $a < b$ si y sólo si $a + c < b + c$. Usted no puede construir un orden en los números complejos que obedece a las mismas propiedades (Usted puede comprobar esto. La forma más fácil es suponer que i es positivo, y encontrar una contradicción, entonces supongamos que es negativo y encontrar una contradicción).