La función de distancia es continua.

Question

Dejemos que $S\subset\Bbb R$ no está vacío, defina $f:\Bbb R\rightarrow\Bbb R$ tal que $f(x)= \inf\{|x-s| ;s\in S\}$

entonces, demuestre que $|f(x)-f(y)|\le|x-y| $ para cualquier $x,y \in \Bbb R$

Answer 1

$|x - s| \le |x - y| + |y - s|$ por cada $s \in S$ . Por lo tanto, $f(x) \le |x - y| + f(y)$ .

Asimismo, $f(y) \le |x - y| + f(x)$ .

Por lo tanto, $|f(x) - f(y)| \le |x - y|$ .