Pregunta sobre la integral indefinida

Question

Vamos a decir tiene expresión con multiplicación que tiene la variable x $$\int x^2e^{x^3}dx$ $ así que en el ejemplo se muestra

$$\int x^2e^{x^3}dx=\frac{1}{3}\int e^u du=\frac{1}{3}e^u+C=\frac{e^{x^3}}{3}+C$$ $u=x^3$ $du=3x^2 dx$

Por lo que no entiendo de donde viene $\frac{1}{3}$ antes de integral y de donde viene 3 $du=3x^2 dx$

Answer 1

Esto se llama sustitución. Aquí están los pasos en detalle:

Quieres hacer dos sustituciones: $u=x^3$$du=3x^2 dx$. Pero usted no tiene por $3x^2 dx$ en su integral. No importa, lo construimos! Comenzando con lo que tengo:

$$\int x^2e^{x^3}dx $$

multiplicar por 1=3/3:

$$= \frac{3}{3}\int x^2e^{x^3}dx $$

mueva el 3 dentro de la integral y se mueven $x^2$$dx$:

$$= \frac{1}{3}\int e^{x^3}3x^2dx$$

A continuación, hacer dos sustituciones: $u=x^3$$du=3x^2 dx$.

$$ =\frac{1}{3}\int e^u du$$

Estas sustituciones son compatibles el uno con el otro, porque si usted diferenciar $u=x^3$ obtener $du=3x^2 dx$. En general, si lo que está buscando sustituto ($3x^2 dx$ en este caso) se diferencia sólo por una constante de lo que tienes ($x^2 dx$) , puede introducir la constante necesidad por poner 1 a través de la constante "fuera" de la integral.

Su mejor apuesta es hacer otro ejemplo muy similar de inmediato para que este concepto se solidifican para usted. Mejor!

Answer 2

Sustitución, tienes $$ \int x ^ 2e ^ {x ^ 3} dx = \int x ^ 2e ^ {u} \frac {du} {3 x ^ 2} = \frac {1} {3} \int e ^ du u $$ después de cancelar el $x^2$. $3$ $du=3x^2 dx$ Viene del hecho de que el derivado de $x^3$ $3x^2$ por la regla de la potencia.

Answer 3

Hemos creado $u=x^3$. Entonces, ¿qué es $\frac{d}{dx}x^3$? Es $3x^2$. Es por ello que $du=3x^2 dx$.

Answer 4

Las sustituciones se hacen para simplificar las cosas. Creo que se debe entender por qué funciona.

Si $F$ es primitivo de $f$ (es decir, $F'(x)=f(x)$) y $g$ es una función tal que $f(g(x))$ y $F(g(x))$, tanto, hace sentido, entonces la función $$f(g(x))g'(x)$$ has a primitive, namely $ f$. Esto sigue de la regla de la cadena.

En tu caso $$f(t)= e^t,\qquad F(t)=e^t,\qquad\text{and}\qquad g(x)=x^3,$$ thus $$f(g(x))=e^{x^3}$$ and you want $g'(x)f(g(x)) $. Now, $$g'(x)=3x^2$$ and you already have $x ^ 2 $, so you must produce $3 x ^ 2$ de alguna manera. En este caso es fácil porque $$ \begin{align} \int x^2e^{x^3}dx &=\int 1\cdot x^2e^{x^3}dx\ &=\int\frac{1}{3}\cdot 3x^2e^{x^3}dx\ &=\frac{1}{3}\int 3x^2e^{x^3}dx=\frac{1}{3}\int g'(x)f(g(x))dx\ &=\frac{1}{3}F(g(x))\ &=\frac{1}{3}e^{x^3}. \end{align} $$