Se ha corregido un algebraicamente cerrado campo de la característica $p>0$, es bien conocido el resultado de la título: $\pi^{tame}(\mathbb{A}^1_k)\simeq 1$. Donde la domar grupo fundamental, en esta situación, clasifica todas las finito ètale revestimientos de $\mathbb{A}^1_k$ que están confiando inocentemente se ramifica en el infinito punto de $\mathbb{P}^1_k$.
¿Cómo resultó?
Siguiente Hartshorne Cap IV Par. 2, y el uso de la de Riemann-Hurwitz fórmula, se puede demostrar que $\widehat{\pi}(\mathbb{P}^1_k)\simeq 1$, por lo tanto también es $\pi^{tame}(\mathbb{P}^1_k)\simeq 1$. Donde $\widehat{\pi}$ es el conjunto de ètale grupo fundamental.
He observado que es crucial para que busque sólo en la confiando inocentemente ramificado, revestimientos en el infinito punto, porque existen ejemplos de finito ètale revestimientos de $\mathbb{A}^1_k$ que son salvajes se ramifica en el infinito punto.
Pensé para abordar el problema de tomar la finalización de la $k[[x]]$ de la Zariski anillo local de la infinita punto, a continuación, cortar el punto de cierre de la vecindad $Spec(k[[x]])$ $\infty$ uno obtendría $Spec(k((x^{-1},x]])$ (donde $k((x^{-1},x]]$ es la fracción de campo de $k[[x]]$) que deberá estar contenido en $\mathbb{A}^1_k$ cubierta por una ètale de morfismos. Pero yo no entiendo nada, ni estoy seguro de que yo no escribí la basura.
También traté de control, en la de Riemann-Hurwitz fórmula, la ramificación índice de $\infty$ con el grado de la cobertura del mapa. Con el fin de ajustar la prueba de $\mathbb{P}^1_k$ de Hartshorne. Pero, de nuevo, no me lleven a ninguna parte.
Gracias por su atención.
Edit: quiero reanudar en la edición de el progreso que he hecho gracias a la generosa sugerencias de Pete L. Clark.
Estamos usando las notaciones de corolario 2.4 del capítulo IV de Hartshorne. Queremos aplicar la de Riemann-Hurwitz fórmula para el cubrimiento $f: X\rightarrow Y$ donde $Y=\mathbb{P}^1_k$. Gracias al hecho de que la restricción de la cobertura en $\mathbb{A}^1_k$ es ètale, y aplicando la misma fórmula para el restringido cubierta, se puede deducir que el grado de $f$$1$. ¿Es esto cierto?
Así que la fórmula nos dice, sobre la cubierta original, que $2g(X)=deg(R)$ donde $R$ es la ramificación del divisor. Pete señaló explícitamente que el divisor es trivial en todas partes, excepto en un punto, a saber,$\infty$. Pero estoy confundido sobre cómo utilizar este hecho para demostrar la $deg(R)=0$.
