Mapeo de funciones analíticas

Question

Tengo otra pregunta que me pilla desprevenido, pero que parece muy prometedora y sana, ya que combina la teoría del análisis complejo y el álgebra. La pregunta es la siguiente:

Dejemos que $f$ ser entero y tener la propiedad de que si $B \subset \mathbb{C}$ es cualquier conjunto acotado, $\hspace{1.7in}$ entonces $f^{-1}(B)$ está acotado (o quizás vacío). ¿Podría demostrarse que para cualquier $\omega \in \mathbb{C}$ , allí $\hspace{0.7in}$ existe $z \in \mathbb{C}$ tal que $f(z)=\omega$ . Además, ¿se puede demostrar que $f(\mathbb{C})$ está abierto y $\hspace{1.1in}$ cerrado y deducir que $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}$ . Aplique este resultado a los polinomios para deducir $\hspace{1.4in}$ otra prueba del Teorema Fundamental Teorema Fundamental del Álgebra.

Answer 1

No estoy seguro de los teoremas que has visto, pero si conoces el teorema del mapa abierto Entonces, usted sabe que $f(\mathbb C)$ está abierto. Dejemos que $(z_n)$ sea una secuencia en $f(\mathbb C)$ convergiendo a $z\in\mathbb C$ . Entonces hay una secuencia $(w_n)$ con $f(w_n)=z_n$ . Dado que las secuencias convergentes están acotadas, $(z_n)$ es una secuencia acotada. Como la secuencia $(w_n)$ se encuentra en $f^{-1}(\{z_n\})$ , $(w_n)$ es también una secuencia acotada, y por tanto existe una subsecuencia $(w_{n_k})_k$ convergiendo a algún $w\in\mathbb C$ . Por continuidad de $f$ , $f(w)=\lim_k f(w_{n_k})=\lim_k z_{n_k}=z$ . Por lo tanto, $f(\mathbb C)$ está cerrado. Como $\mathbb C$ está conectada, se deduce que $f$ está en.

Si $f$ es un polinomio no constante, entonces $\lim_{z\to\infty}f(z)=\infty$ lo que implica que $f$ satisface la hipótesis. Por lo tanto, $f$ es sobre, y en particular $0$ está en su imagen, que es el teorema fundamental del álgebra.

Una solución alternativa al problema original que probablemente sea exagerada y que en realidad utiliza el teorema fundamental del álgebra es la siguiente. Si $f$ es un polinomio no constante, entonces es onto por el teorema fundamental del álgebra. Si $f$ es una función entera que no es un polinomio, entonces tiene una singularidad esencial en $\infty$ y por lo tanto $f(\{z:|z|>M\})$ es denso en $\mathbb C$ para todos $M>0$ por el teorema de Casorati-Weierstrass. En particular, $f^{-1}(\{z:|z|<1\})$ se cruza con $\{z:|z|>M\}$ para todos $M>0$ y, por lo tanto, no tiene límites. (Supongo que este es un buen enfoque si por alguna razón se quiere evitar el uso del teorema del mapa abierto).

Edición: Se ha eliminado el comentario sobre la suposición de que $f$ no es constante, ya que eso está implícito en la hipótesis, como ha señalado Theo.

Answer 2

Este mapa $f$ se llama adecuado . Es fácil demostrar (utilizando la compacidad local de $\mathbb{C}$ La continuidad de $f$ y la compacidad de $f^{-1}(K)$ para cada compacto $K$ ) que $f$ mapea conjuntos cerrados a conjuntos cerrados y como $f$ no es constante, mapea conjuntos abiertos a conjuntos abiertos por la teorema del mapa abierto . Por lo tanto, hace lo que usted quiere: la imagen de $f$ es tanto abierta como cerrada y por supuesto no vacía en $\mathbb{C}$ Por lo tanto, es todo $\mathbb{C}$ por la conectividad.

Utilizando el lema de crecimiento para los polinomios se puede demostrar fácilmente que los polinomios no constantes son propios, por lo tanto son onto. Te dejo los detalles porque son bastante sencillos.

Answer 3

Aprovechando mi comentario:

El teorema de Picard afirma que una función entera que pierde más de dos valores es constante. Nuestra función claramente no es constante, como ya se ha dicho. Supongamos que no es onto. Entonces sólo existe un elemento $z \notin f(\Bbb{C})$ . Elige un disco $D=D(z,r)$ centrado en $z$ . Desde $D$ está acotado, se deduce que $f^{-1}(D)$ está acotado. Existe $z_n \in D,\ z_n \to z$ para los que existe $w_n$ con la propiedad de que $f(w_n)=z_n$ . La secuencia $w_n$ está acotada, por lo que tiene una subsecuencia convergente $(w_{n_k})\to w$ y finalmente $f(w)=z$ . Contradicción. Esto significa que $f$ está en.

Este es un argumento válido, pero claramente, no tan simple como el primero.