Demostrando que $\int_{0}^{1}\ln^{2n}\left(\ln\left({1-\sqrt{1-x^2}\over x}\right)\over \ln\left({1+\sqrt{1-x^2}\over x}\right)\right)dx=(-\pi^2)^n$

Question

Yo estaba observando esta cuestión y fue capaz de conjeturar $$\int_{0}^{1}\ln^{2n}\left(\ln\left({1-\sqrt{1-x^2}\over x}\right)\over \ln\left({1+\sqrt{1-x^2}\over x}\right)\right)\mathrm dx=(-\pi^2)^n\tag1$ $ donde $n\ge1$.

Hacer un intento: $$x=\sin u \implies dx=\cos udu$ $ $$\int{0}^{\pi/2}\ln^{2n}\left(\ln\left({1-\cos u\over \sin u}\right)\over \ln\left({1+\cos u\over \sin u}\right)\right)\cos u\,du\tag2$ $ simplificar más lejos a $$\int{0}^{\pi/2}\ln^{2n}\left(\ln\tan\left({u\over 2}\right)\over \ln\cot\left({u\over 2}\right)\right)\cos u\,du\tag3$ $ $$\int_{0}^{\pi/2}\ln^{2n}(-1)\cos u\,du\tag4$ $ esto no hace sentido aquí!

Cómo podemos probar $(1)?$

Answer 1

Puesto que el principal valor de $\ln(-1)$ es $i\pi$: #% $ $$\int_0^{\pi/2}\ln^{2n}(-1)\cos u\,du$ $ $$=\int_0^{\pi/2}(i\pi)^{2n}\cos u\,du$ $ $$=(i\pi)^{2n}\int_0^{\pi/2}\cos u\,du$% la #% $ sin embargo, como el logaritmo complejo es multivalor, esta respuesta no está bien definida (según lo mencionado por Chappers en los comentarios).