romper un palo de 1 metro al azar en 3 segmentos, formar un triángulo?

Question

Tengo un palo de un metro de largo. Deje que $x,y$ ser i.i.d con uniforme ([0,1]), representando el corte en el palo. ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 segmentos formen un triángulo?

Intento:

Pr{triángulo} = Pr(triángulo | x < y) Pr(x < y) + Pr(triángulo | x > y) Pr( x > y).

Veamos el primer trimestre. Pr(triángulo | x < y) requiere:

1) x + y-x > 1-y

2) x + 1 -y > y-x

3) y-x + 1-y > x

Lo que equivale a

1.y >0.5,

2. x < 0.5

3. y - x < 0.5.

Este es un triángulo que tiene un área de 1/8.

Debido a la simetría, Pr(triángulo | x > y) = 1/8.

Ahora. Pr{triángulo} = Pr(triángulo | x < y) Pr(x < y) + Pr(triángulo | x > y) Pr( x > y)

\= 1/8 *0.5 + 1/8 *0.5 = 1/8 $ \neq $ 1/4 (como se publicó aquí )

Confusión: ¿Hice algo malo?

Answer 1

Formalmente, un triángulo puede formarse si ninguna pieza excede la mitad de su longitud. Esto se resume correctamente por su equivalencia.

Tu cálculo de la probabilidad de este evento está ligeramente fuera de lugar, ya que olvidaste asumir que x>y está dada. El triángulo tiene un área de 1/8, incondicional en $x>y$ . Note que su equivalencia es un subconjunto del evento $x<y$ . Así que..:

$P(y>0.5,x<0.5,y-x<0.5|x<y)= \frac {P(y>0.5,x<0.5,y-x<0.5 , x<y)}{P(x<y)}= \frac {1/8}{1/2}=1/4.$