Qué condiciones sostener $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$

Question

Qué condiciones sostener $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$

Por ejemplo

$$\begin{align}\text{sin(arcsin(x))=x}\end{align}$$

¿Creo que esto es una trival pregunta quizás demasiadas veces, dónde están?

Answer 1

En mi opinión, no tiene sentido hablar de la $f^{-1}$ de un elemento menos sabemos que $f$ es bijective. Generalmente, tiene más sentido hablar de la pre-imagen de un conjunto. Por ejemplo, usted podría decir $f^{-1}(\{x\})$, en lugar de sólo $f^{-1}(x)$.

Por lo tanto, siempre es verdadero por definición, $f(f^{-1}(A))\subseteq A$ con igualdad si $f$ es surjective. En el mismo espíritu, $f^{-1}(f(B))\supseteq B$ con igualdad si $f$ es inyectiva.

El problema surge en su caso al $f$ no necesita ser surjective. Entonces en este caso la pre-imagen de $f^{-1}(\{x\})$ puede estar vacío. Por ejemplo, si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$f(x)=x^{2}$,$f^{-1}(\{-1\})=\emptyset$. Por lo tanto, $f(f^{-1}(\{-1\}))=\emptyset\subseteq\{x\}$. El pensamiento de la pre-imagen de un conjunto en lugar de un elemento que evita la confusión.

Answer 2

Esta es una definición de un (a la izquierda) inverso de un mapa. Es menos confuso para mirar esto cuando el dominio de un co-dominio son diferentes, o al menos denota por diferentes símbolos. Es decir, vamos a considerar un mapa de $f:X\to Y$, a continuación, un mapa de $g:Y\to X$ se llama a la izquierda (derecha) a la inversa, si $g(f(x)) = x$ cualquier $x\in X$ (si $f(g(y)) = y$ todos los $y\in Y$).

Ambas funciones inversas son a menudo denotan por el mismo símbolo $g = f^{-1}$, por lo que la ecuación de $f(f^{-1}(x)) = x$ que usted escribió en realidad vale para cualquier $x$ en el co-dominio de $f$ (que es, en el conjunto de $Y$ en la anterior notación). Por ejemplo, aunque la $f = \sin$ se parecen a enviar reales a los reales, su rango es de sólo $[-1,1]$ y que es donde el $\arcsin$ está definido (por lo que a pesar de $X = \Bbb R$ aquí $Y = [-1,1]$). En particular, $\sin$ no permite por el derecho a la inversa en el caso de $Y'=\Bbb R$.